Question

數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n=

1

3

(4n-t)，n∈N^*．
（Ⅰ）當(dāng)實(shí)數(shù)t為何值時(shí)，數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列？
（Ⅱ）在（Ⅰ）的結(jié)論下，設(shè)b_n=1og₄a_n+1，c_n=a_n+b_n，T_n是數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和，求T_n．

Answer 1

分析：（Ⅰ）依題意，可求得a₁，a₂，a₃，由a₁，a₂，a₃成等比數(shù)列即可求得t的值；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的結(jié)論下，易求b_n=n，a_n=4^n-1，利用分組求和法即可求得數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和T_n．

解答：解：（Ⅰ）∵S_n=

1

3

(4n-t)，
∴a₁=

1

3

（4-t），
∴a₂=S₂-a₁=

1

3

（4²-t）-

1

3

（4-t）=4，
a₃=S₃-S₂=

1

3

（4³-t）-

1

3

（4²-t）=

1

3

（4³-4²）=16，
∵a₁，a₂，a₃成等比數(shù)列，
∴a22=a₁•a₃，即16=

1

3

（4-t）×16，
解得t=1，
∴t=1時(shí)，S_n=

1

3

（4ⁿ-1），
∴S_n+1=

1

3

（4ⁿ⁺¹-1），
∴a_n+1=S_n+1-S_n=

1

3

（4ⁿ⁺¹-4ⁿ）=4ⁿ，
∴

an+1

an

=4，即t=1時(shí)，數(shù)列{a_n}是公比為4的等比數(shù)列；
（Ⅱ）∵{a_n}是首項(xiàng)為1，公比為4的等比數(shù)列，
∴a_n=4^n-1，a_n+1=4ⁿ，
∴b_n=1og₄a_n+1=log44n=n，
∴c_n=a_n+b_n=4^n-1+n，
∴T_n=c₁+c₂+…+c_n
=（1+4+4²+…+4^n-1）+（1+2+..+n）
=

1-4n

1-4

-

n(1+n)

2

=

1

3

（4ⁿ-1）-

n(1+n)

2

=

4n

3

-

n(1+n)

2

-

1

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的求和，考查等比關(guān)系的確定，求得t=1是關(guān)鍵，考查分組求和，突出考查靈活轉(zhuǎn)化與運(yùn)算能力，屬于中檔題．