已知函數(shù)f（x）=（ax2+bx+c）e2-x在x=1處取得極值，且在點（2，f（2））處的切線方程為6x+y-27=0．
（1）求a，b，c的值；
（2）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間，并指出f（x）在x=1處的極值是極大值還是極小值．
分析：（1）求導(dǎo)函數(shù)，利用函數(shù)在x=1處取得極值，且在點（2，f（2））處的切線方程為6x+y-27=0，建立方程組，即可求得a，b，c的值；
（2）求導(dǎo)函數(shù)，由導(dǎo)數(shù)的正負，可得函數(shù)的單調(diào)性，從而可得函數(shù)的極值．
解答：解：（1）f′（x）=（2ax+b）e2-x+（ax2+bx+c）e2-x（-1）=[-ax2+（2a-b）x+（b-c）]e2-x，…（4分）
由題意，
f′(1)=0
f′(2)=-6
f(2)=15
，即
[-a+(2a-b)+(b-c)]e1=0
[-4a+2(2a-b)+(b-c)]e0=-6
(4a+2b+c)e0=15
，
∴a=c=1，b=5；  …（8分）
（2）由（1）知，f（x）=（x2+5x+1）e2-x，∴f′（x）=（-x2-3x+4）e2-x=-（x+4）（x-1）e2-x，…（10分）
令f′（x）＞0，得-4＜x＜1，f′（x）＜0，得x＜-4或x＞1，
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（-4，1），單調(diào)遞減區(qū)間為（-∞，-4）和（1，+∞）．…（13分）
由此可知，f（x）在x=1處的取值是極大值．       …（14分）
點評：本題考查導(dǎo)數(shù)知識的運用，考查函數(shù)的極值，切線的斜率，考查函數(shù)的單調(diào)性，正確求導(dǎo)是關(guān)鍵．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=sinxcosφ+cosxsinφ（其中x∈R，0＜φ＜π）．
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期；
（2）若函數(shù)y=f(2x+
π
4
)的圖象關(guān)于直線x=
π
6
對稱，求φ的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）為定義在R上的奇函數(shù)，且當x＞0時，f（x）=（sinx+cosx）2+2cos2x，
（1）求x＜0，時f（x）的表達式；
（2）若關(guān)于x的方程f（x）-a=o有解，求實數(shù)a的范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=aInx-ax，（a∈R）
（1）求f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；（文科可參考公式：(Inx)′=
1
x
）
（2）若f′（2）=1，記函數(shù)g（x）=x3+x2•[f′(x)+
m
2
]，若g（x）在區(qū)間（1，3）上總不單調(diào)，求實數(shù)m的范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=x2-bx的圖象在點A（1，f（1））處的切線l與直線3x-y+2=0平行，若數(shù)列{
1
f(n)
}的前n項和為Sn，則S2010的值為（　　）
A、
2011
2012
B、
2010
2011
C、
2009
2010
D、
2008
2009

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）是定義在區(qū)間（-1，1）上的奇函數(shù)，且對于x∈（-1，1）恒有f’（x）＜0成立，若f（-2a2+2）+f（a2+2a+1）＜0，則實數(shù)a的取值范圍是
 
．

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