Question

8．設(shè)函數(shù)f（x）=x²-aln（x+2），且f（x）存在兩個(gè)極值點(diǎn)x₁，x₂，其中x₁＜x₂．
（I）求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（II）證明不等式：$\frac{{f（{x_1}）}}{x_2}+1＜0$．

Answer 1

分析 （I）求導(dǎo)，由題意可知：2x²+4x-a=0在（-2，+∞）內(nèi)有兩個(gè)不相等實(shí)根，構(gòu)造輔助函數(shù)，利用函數(shù)的性質(zhì)，即可求得實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（II）由（I）可知，利用韋達(dá)定理，則$\frac{{f（{x_1}）}}{x_2}=\frac{{x_1^2-aln（{x_1}+2）}}{x_2}={x_2}+\frac{4}{x_2}-2（{x_2}+2）ln（-{x_2}）+4$，構(gòu)造輔助函數(shù)．利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，則F（x）＜F（1）=-1，即$\frac{{f（{x_1}）}}{x_2}＜-1$．

解答 解：（Ⅰ）由題意，$f'（x）=2x-\frac{a}{x+2}（x＞-2）$，-----------------（1分）
∵函數(shù)f（x）存在兩個(gè)極值點(diǎn)x₁，x₂，且x₁＜x₂，
∴關(guān)于x的方程$2x-\frac{a}{x+2}=0$，
即2x²+4x-a=0在（-2，+∞）內(nèi)有兩個(gè)不相等實(shí)根．--------------（2分）
令φ（x）=2x²+4x-a，
則$\left\{{\begin{array}{l}{△=16+8a＞0}\\{φ（-2）＞0}\end{array}}\right.$-----------------------------------------（3分）
解得-2＜a＜0．所以，實(shí)數(shù)a的取值范圍（-2，0）．-------------（4分）
（Ⅱ）證明：由（Ⅰ）知$\left\{{\begin{array}{l}{{x_1}{x_2}=-\frac{a}{2}}\\{{x_1}+{x_2}=-2}\\{-1＜{x_2}＜0}\end{array}}\right.$
∴$\frac{{f（{x_1}）}}{x_2}=\frac{{x_1^2-aln（{x_1}+2）}}{x_2}={x_2}+\frac{4}{x_2}-2（{x_2}+2）ln（-{x_2}）+4$，---------（10分）
令-x₂=x，則0＜x＜1，且$\frac{{f（{x_1}）}}{x_2}=-x-\frac{4}{x}+2（x-2）lnx+4$，
令$F（x）=-x-\frac{4}{x}+2（x-2）lnx+4（0＜x＜1）$，則------------------（11分）
$F'（x）=-1+\frac{4}{x^2}+2lnx+\frac{2（x-2）}{x}=\frac{4}{x^2}-\frac{4}{x}+2lnx+1（0＜x＜1）$------（12分）
∴$F''（x）=-\frac{8}{x^3}+\frac{4}{x^2}+\frac{2}{x}=\frac{{2（{x^2}+2x-4）}}{x^3}$，
∵0＜x＜1，
∴F''（x）＜0即F'（x）在（0，1）上是減函數(shù)，
∴F'（x）＞F'（1）=1＞0，
∴F（x）在（0，1）上是增函數(shù)，------------（13分）
∴F（x）＜F（1）=-1，即$\frac{{f（{x_1}）}}{x_2}＜-1$，
所以，$\frac{{f（{x_1}）}}{x_2}+1＜0$．------------------------------------（14分）

點(diǎn)評 本題考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，考查導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．