Question

已知函數(shù)f（x）=x³+bx²+cx的導(dǎo)函數(shù)的圖象關(guān)于直線x=2對稱．
（1）求b的值；
（2）若f（x）在x=t處取得極小值，記此極小值為g（t），求g（t）的定義域和值域．

Answer 1

分析：（1）函數(shù)f（x）=x³+bx²+cx的導(dǎo)函數(shù)的圖象關(guān)于直線x=2對稱，則求出f′（x）得到一個(gè)二次函數(shù)，利用x=-

b

2a

=2求出b即可；（2）求出f′（x），由（1）得函數(shù)的對稱軸為x=2，討論c的取值范圍求出g（t）的定義域和值域即可．

解答：解：（1）f′（x）=3x²+2bx+c
因?yàn)楹瘮?shù)f′（x）的圖象關(guān)于直線x=2對稱，
所以-

2b

6

=2，于是b=-6
（2）由（Ⅰ）知，f（x）=x³-6x²+cx
f′（x）=3x²-12x+c=3（x-2）²+c-12
（�。┊�(dāng)c≥12時(shí)，f′（x）≥0，此時(shí)f（x）無極值．
（ii）當(dāng)c＜12時(shí)，f′（x）=0有兩個(gè)互異實(shí)根x₁，x₂．
不妨設(shè)x₁＜x₂，則x₁＜2＜x₂．
當(dāng)x＜x₁時(shí)，f′（x）＞0，f（x）在區(qū)間（-∞，x₁）內(nèi)為增函數(shù)；
當(dāng)x₁＜x＜x₂時(shí)，f′（x）＜0，f（x）在區(qū)間（x₁，x₂）內(nèi)為減函數(shù)；
當(dāng)x＞x₂時(shí)，f′（x）＞0，f（x）在區(qū)間（x₂，+∞）內(nèi)為增函數(shù)．
所以f（x）在x=x₁處取極大值，在x=x₂處取極小值．
因此，當(dāng)且僅當(dāng)c＜12時(shí)，函數(shù)f（x）在x=x₂處存在唯一極小值，所以t=x₂＞2．
于是g（t）的定義域?yàn)椋?，+∞）．
由f′（t）=3t²-12t+c=0得c=-3t²+12t．
于是g（t）=f（t）=t³-6t²+ct=-2t³+6t²，t∈（2，+∞）．
當(dāng)t＞2時(shí)，g′（t）=-6t²+12t=6t（2-t）＜0
所以函數(shù)g（t）在區(qū)間（2，+∞）內(nèi)是減函數(shù)，
故g（t）的值域?yàn)椋?∞，8）

點(diǎn)評：考查學(xué)生利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)函數(shù)的單調(diào)性及確定函數(shù)極值存在位置的能力，以及利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)最值的能力．利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)的一個(gè)極其重要的應(yīng)用，它大大簡化了證明單調(diào)性的方法．