Question

已知，點(diǎn)滿足，記點(diǎn)的軌跡為.

（Ⅰ）求軌跡的方程；（Ⅱ）若直線過(guò)點(diǎn)且與軌跡交于、兩點(diǎn). （i）設(shè)點(diǎn)，問(wèn)：是否存在實(shí)數(shù)，使得直線繞點(diǎn)無(wú)論怎樣轉(zhuǎn)動(dòng)，都有成立？若存在，求出實(shí)數(shù)的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.（ii）過(guò)、作直線的垂線、，垂足分別為、，記

，求的取值范圍.

Answer 1

（Ⅰ）

解析:

（Ⅰ）由知，點(diǎn)的軌跡是以、為焦點(diǎn)的雙曲線右支，由，∴，故軌跡E的方程為…………3分

（Ⅱ）當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線l方程為，與雙曲線方程聯(lián)立消得，設(shè)、，

∴，    解得 ……………5分

（i）∵

   

……………………7分

假設(shè)存在實(shí)數(shù)，使得，

故得對(duì)任意的恒成立，

    ∴，解得    ∴當(dāng)時(shí)，.

    當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，由及知結(jié)論也成立，

    綜上，存在，使得. …………………………………………8分

 （ii）∵，∴直線是雙曲線的右準(zhǔn)線，…………………………9分

    由雙曲線定義得：，，

    方法一：∴

                 …………………………………………10分

    ∵，∴，∴………………………………………11分

    注意到直線的斜率不存在時(shí)，，綜上， …………………12分

    方法二：設(shè)直線的傾斜角為，由于直線

與雙曲線右支有二個(gè)交點(diǎn)，∴，過(guò)

作，垂足為，則，          

∴ …（10分）

    由，得  故： …（12分）