Question

（2013•鄭州二模）如圖所示，一輛汽車從O點(diǎn)出發(fā)沿一條直線公路以50公里/小時(shí)的速度勻速行駛（圖中的箭頭方向?yàn)槠�車行駛方向），汽車開動(dòng)的同時(shí)，在距汽車出發(fā)點(diǎn)O點(diǎn)的距離為5公里，距離公路線的垂直距離為3公里的M點(diǎn)的地方有一個(gè)人騎摩托車出發(fā)想把一件東西送給汽車司機(jī)．問騎摩托車的人至少以多大的速度勻速行駛才能實(shí)現(xiàn)他的愿望，此時(shí)他駕駛摩托車行駛了多少公里？

Answer 1

分析：作MI垂直公路所在直線于點(diǎn)I，則MI=3，OM=5，可得OI=4，且cos∠MOI=

4

5

，設(shè)騎摩托車的人的速度為v公里/小時(shí)，由余弦定理可得 (vt)2=52+(50t)2-2×5×50t×

4

5

，求得v2=25(

1

t

-8)2+900，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)求得v的最小值，以及此時(shí)他行駛的距離vt的值．

解答：解：作MI垂直公路所在直線于點(diǎn)I，則MI=3，∵OM=5，∴OI=4 ， ∴cos∠MOI=

4

5

．----（2分）
設(shè)騎摩托車的人的速度為v公里/小時(shí)，追上汽車的時(shí)間為t小時(shí)，
由余弦定理：(vt)2=52+(50t)2-2×5×50t×

4

5

----（6分），求得 v2=

25

t2

-

400

t

+2500=25(

1

t

-8)2+900≥900，----（8分）
∴當(dāng)t=

1

8

時(shí)，v的最小值為30，∴其行駛距離為vt=

30

8

=

15

4

公里．----（11分）
故騎摩托車的人至少以30公里/時(shí)的速度行駛才能實(shí)現(xiàn)他的愿望，他駕駛摩托車行駛了

15

4

公里．----（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查二次函數(shù)的性質(zhì)，余弦定理的應(yīng)用，屬于中檔題．