Question

（2013•濟(jì)寧二模）已知函數(shù)f（x）=2cosxcos（

π

6

-x）-

3

sin²x+sinxcosx．
（I）求f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）將函數(shù)，y=f（x）的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的

1

2

倍，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)，y=g（x）的圖象，求函數(shù)g（x）在（0，

π

4

）上的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）利用二倍角公式化簡(jiǎn)函數(shù)為一個(gè)角的一個(gè)三角函數(shù)的形式，然后求f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）將函數(shù)y=f（x）的圖象利用伸縮變換以及平移變換，求出g（x）的表達(dá)式，通過(guò)x的范圍，求出相位的范圍，得到函數(shù)值的范圍即可．

解答：解：（Ⅰ）函數(shù)f（x）=2cosxcos（

π

6

-x）-

3

sin²x+sinxcosx
=

3

（cos²x-sin²x）+2sinxcosx
=2sin（2x+

π

3

）．
所以函數(shù)的最小正周期為：π．
（Ⅱ）將函數(shù)，y=f（x）的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的

1

2

倍，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)，y=g（x）的圖象，
所以g（x）=2sin（4x+

π

3

）．
∵x∈（0，

π

4

），∴4x+

π

3

∈（

π

3

，

4π

3

），
∴g（x）∈（-

3

，2]．

點(diǎn)評(píng)：本題考查兩角和差的正弦公式，正弦函數(shù)的周期性、單調(diào)性、值域，化簡(jiǎn)函數(shù)的解析式為一個(gè)角的一個(gè)三角函數(shù)的形式是解題的關(guān)鍵．