Question

（2012•即墨市模擬）如圖，把邊長為40cm的正方形鐵皮的四角邊去邊長為xcm的四個相同的正方形，然后折成一個高度為xcm的無蓋的長方體的盒子，要求長方體的高度與底面邊長的比值不超過常數(shù)k（k＞0），問x取何值時，盒子的容積最大，最大容積是多少？

Answer 1

分析：根據(jù)長方體的體積公式，易得到V的表達式V（x）=x（40-2x）²=4（20-x）²•x 定義域為 （0，

40k

2k+1

]．對函數(shù)v進行求導，解出極值點 x=

40-20 3

3

，分當

40-20 3

3

≤

40k

2k+1

和當

40-20 3

3

＞

40k

2k+1

，討論函數(shù)v的單調性，分別求出最大值，從而求解．

解答：解：由題意得，函數(shù)V（x）=x（40-2x）²=4（20-x）²•x，且 

x＞0 40-2x x 40-2x ≤k

，定義域為 （0，

40k

2k+1

]．
函數(shù)V的導數(shù) V′（x）=12x²-320x+400，令 V′=0可得，x=

40-20 3

3

，或 x=

40+20 3

3

（舍去）．
當

40-20 3

3

≤

40k

2k+1

 時，導數(shù) V′在x=

40-20 3

3

的左側為正，右側為負，故當x=

40-20 3

3

時，
函數(shù)V（x）=x（40-2x）²=4（20-x）²•x 取得最大值，且最大值為V（

40-20 3

3

）．
當

40-20 3

3

＞

40k

2k+1

時，由于當 0＜x＜

40-20 3

3

時，V′（x）＞0，函數(shù)V（x）在（0，

40k

2k+1

]是增函數(shù)，
故當x=

40k

2k+1

時，函數(shù)V（x）=x（40-2x）²=4（20-x）²•x 取得最大值，且最大值為V（

40k

2k+1

）．

點評：此題是一道應用題，主要還是考查導數(shù)的定義及利用導數(shù)來求區(qū)間函數(shù)的最值，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性和極值、解不等式等基礎知識，考查綜合分析和解決問題的能力，解題的關鍵是求導要精確，屬于難題．