Question

13．已知命題p：函數(shù)f（x）=x²+2mx+2+m²在區(qū)間[2，+∞）上是增函數(shù)，
命題q：函數(shù)g（x）=4^x-2^x+1+m²-m+3的最小值大于4，
命題r：函數(shù)h（x）=（m²-m-2）x²+2mx+1的函數(shù)值恒大于0，
（1）若“非r”為假命題，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
（2）若“p或q”為真命題，“p且q”為假命題，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由“非r”為假命題，得出命題r為真命題，即函數(shù)h（x）=（m²-m-2）x²+2mx+1的函數(shù)值恒大于0，討論得到m的范圍．
（2）求出命題p和命題q的真假，命題“p或q”為真；命題“p且q”為假，求出m的取值范圍．

解答 解：（1）∵“非r”為假命題，∴命題r為真命題，
即函數(shù)h（x）=（m²-m-2）x²+2mx+1的函數(shù)值恒大于0，…（1分）
①當(dāng)m²-m-2=0時，即m=-1或m=2m=-1時，h（x）=-2x+1不滿足函數(shù)值恒大于0，m=2時，h（x）=4x+1也不滿足函數(shù)值恒大于0，
即m=-1或m=2不合題意，…（2分）
②當(dāng)m²-m-2≠0時，
則$\left\{\begin{array}{l}{m^2}-m-2＞0\\{（{2m}）^2}-4（{{m^2}-m-2}）＜0\end{array}\right.$，…（4分）
解之得：m＜-2
綜上所述可知所求實(shí)數(shù)m的取值范圍為（-∞，-2）…（6分）
（2）f（x）=x²+2mx+2+m²=（x+m）²+2
若命題p是真命題，則-m≤2，即m≥-2
若命題p是假命題，則-m＞2，即m＜-2…（8分）
又g（x）=4^x-2^x+1+m²-m+3=（2^x-1）²+（m²-m+2），
即當(dāng)x=0時，${[{g（x）}]_{min}}={m^2}-m+2$，
若命題q是真命題，則m²-m+2＞4，即m＞2或m＜-1，
若命題q是假命題，則m²-m+2≤4，即-1≤m≤2，…（10分）
∵命題“p或q”為真；命題“p且q”為假，
∴命題p和命題q必為一真一假
即$\left\{\begin{array}{l}p是真命題\\ q是假命題\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}p是假命題\\ q是真命題\end{array}\right.$…（12分）
即$\left\{\begin{array}{l}m≥-2\\-1≤m≤2\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}m＜-2\\ m＞2或m＜-1\end{array}\right.$，
解之得：-1≤m≤2或m＜-2
則所求實(shí)數(shù)m的取值范圍是[-1，2]∪（-∞，-2）…（14分）

點(diǎn)評 本題主要考查命題真假在大題中的應(yīng)用，要注意真假命題的判斷，屬于中檔題型．