Question

【題目】已知函數(shù).

（1）當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（2）若有兩個(gè)極值點(diǎn)，，求證：.

Answer 1

【答案】（1）；（2）詳見(jiàn)解析.

【解析】

（1）根據(jù)不等式構(gòu)造函數(shù)，通過(guò)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，對(duì)a分類討論，分別求解函數(shù)的單調(diào)性及極值，求出滿足條件的實(shí)數(shù)a的取值范圍．

（2）求出x1x2，只需證明，不妨設(shè)x1＞x2，只需證明，令t（t＞1），原不等式轉(zhuǎn)化為lnt，結(jié)合（1）利用不等式的傳遞性證明即可．

（1）令，，，

令，

當(dāng)時(shí)，，且對(duì)稱軸，

所以當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，

所以恒成立，

當(dāng)時(shí)，，可知必存在區(qū)間，使得，

當(dāng)時(shí)，有，即在上單調(diào)遞減，由于，此時(shí)不合題意，綜上；

（2），令在有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，

，若，則，不合題意；

若，設(shè)兩個(gè)零點(diǎn)分別為，則，

可得，

要證，即證，

即證，即證，

即證，即證，

令，即證

由（1）可得時(shí)，，

只需證，即證，

故原不等式得證.