Question

已知a、b、c是實(shí)數(shù)，函數(shù)，g(x)=ax＋b，當(dāng)－1≤x≤1時(shí)，|f(x)|≤1．

(1)證明：|c|≤1；

(2)證明：當(dāng)－1≤x≤1時(shí)，|g(x)|≤2；

(3)設(shè)a＞0，當(dāng)－1≤x≤1時(shí)，g(x)的最大值為2，求f(x)．

Answer 1

答案：略
解析：

(1)由已知，當(dāng)－1≤x≤1時(shí)，有|f(x)|≤1． 因?yàn)?/FONT>x=0時(shí)，滿足－1≤x≤1的條件，所以|f(0)|≤1． 而f(0)=c，即|c|≤1． (2)當(dāng)a＞0時(shí)，g(x)在[－1，1]上是增函數(shù)，有g(－1)≤g(x)≤g(1)． 又g(1)=a＋b=f(1)－c，g(－1)=－a＋b=－f(－1)＋c． 代入上式，得：－f(－1)＋c≤g(x)≤f(1)－c，　　　　　　　　　　① 由絕對(duì)值不等式m＋n≤|m|＋|n|， 可得f(1)－c≤|f(1)|＋|c|，及f(－1)－c≤|f(－1)＋|c|， 再由條件|f(1)|≤1，|f(－1)|≤1，|c|≤1 及不等式的有關(guān)性質(zhì)，可得 f(1)－c≤2，－f(－1)＋c≥－2，　　　　　　　　　　　　　　　�、� 由①、②及不等式的性質(zhì)，得：－2≤g(x)≤2， 即|g(x)|≤2． 當(dāng)a＜0時(shí)，可用類似的方法證得|g(x)|≤2． 當(dāng)a=0時(shí)，g(x)=b，f(x)=bx＋c， |g(x)|=|f(1)－c|≤|f(1)|＋|c|≤2． 綜上得|g(x)|≤2． (3)a＞0，g(x)在[－1，1]上是增函數(shù)，其最大值在右端點(diǎn)處取得，即g(1)=2． 又g(1)=f(1)－c，所以c=f(1)－2． 由已證，得c≥－1． 由已知，得f(1)≤1． 所以－1≤c≤1－2=－1，c=－1． 又當(dāng)－1≤x≤1時(shí)，f(x)≥－1，而c=－1，f(0)=c． 所以對(duì)任意－1≤x≤1，都有f(x)≥f(0)，即f(x)的對(duì)稱軸為x=0． 由此得，解得b=0， 又g(1)=a＋b=2，所以a=2． 所以即為所求．

提示：

解析：本題是一道將一次函數(shù)、二次函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)與不等式的證明相結(jié)合的典型代數(shù)推理證明題．試圖使用最基本、最樸素的材料，最常用、最一般地方法，從思維的全面性、深刻性、嚴(yán)密性和批判性等多個(gè)方面對(duì)演繹推理、邏輯思維能力提出較高的考查要求．我們可由證明過程來看編制意圖和考查目的．