Question

1．已知拋物線C的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)O，焦點(diǎn)為F（1，0），經(jīng)過點(diǎn)F的直線l與拋物線C相交于A、B兩點(diǎn)．
（1）求拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若△AOB的面積為4，求|AB|

Answer 1

分析 （1）設(shè)出拋物線的方程，求出p的值，從而求出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程即可；
（2）通過討論直線l的斜率，求出|AB|的表達(dá)式，求出k的值，從而求出|AB|即可．

解答 解：（1）依題意可設(shè)：拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為y²=2px（p＞0），
由其焦點(diǎn)為F（1，0）易得：2p=4，得：p=2，
故所求拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為y²=4x；
（2）①當(dāng)直線l斜率不存在即與x軸垂直時(shí)，易知：|AB|=4，
此時(shí)△AOB的面積為S_△AOB=$\frac{1}{2}$|OF|•|AB|=$\frac{1}{2}$×1×4=2，
不符合題意，故舍去．
②當(dāng)直線l斜率存在時(shí)，可設(shè)其為k（k≠0），則此時(shí)直線l的方程為y=k（x-1），
將其與拋物線C的方程：y²=4x聯(lián)立化簡整理可得：
k²x²-2（k²+2）x+k²=0，（k≠0），
設(shè)A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為（x₁，y₁），（x₂，y₂） 由韋達(dá)定理可得：
$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}{+x}_{2}=\frac{2{（k}^{2}+2）}{{k}^{2}}=2+\frac{4}{{k}^{2}}}\\{{x}_{1}{•x}_{2}=1}\end{array}\right.$，
由弦長公式可得：|AB|=x₁+x₂+p=2+$\frac{4}{{k}^{2}}$+2=$\frac{4}{{k}^{2}}$+4，
由點(diǎn)到直線的距離公式可得：坐標(biāo)原點(diǎn)O到直線l的距離為d=$\frac{|k|}{\sqrt{1{+k}^{2}}}$，
故△AOB的面積為S_△AOB=$\frac{1}{2}$|AB|d=2（$\frac{1}{|k|}$+|k|）$\frac{1}{\sqrt{1{+k}^{2}}}$=$\frac{2\sqrt{1{+k}^{2}}}{|k|}$=4，
${{S}_{△AOB}}^{2}$=$\frac{4（1{+k}^{2}）}{{k}^{2}}$=16，解得：k=±$\frac{\sqrt{3}}{3}$，k²=$\frac{1}{3}$，
又|AB|=$\frac{4}{{k}^{2}}$+4=12+4=16，
因此，當(dāng)△AOB的面積為4時(shí)，所求弦AB的長為16．

點(diǎn)評 本題考查了求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查點(diǎn)到直線的距離公式以及弦長公式，是一道綜合題．