Question

已知定義在R上的函數(shù)f（x），對(duì)任意x∈R，都有f（x+6）=f（x）+f（3）成立，若函數(shù)y=f（x+1）的圖象關(guān)于直線x=-1對(duì)稱(chēng)，則f（2013）=（　�。�

• A、0
• B、2013
• C、3
• D、-2013

Answer 1

分析：函數(shù)y=f（x+1）的圖象關(guān)于直線x=-1對(duì)稱(chēng)⇒函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)⇒y=f（x）為R上的偶函數(shù)，從而可求得f（3）=0，繼而得函數(shù)y=f（x）是以6為周期的函數(shù)，從而可得f（2013）的值．

解答：解：∵函數(shù)y=f（x+1）的圖象關(guān)于直線x=-1對(duì)稱(chēng)，
∴函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于直線x=0，即y軸對(duì)稱(chēng)，
∴y=f（x）為R上的偶函數(shù)，又對(duì)任意x∈R，均有f（x+6）=f（x）+f（3），
令x=-3得：f（6-3）=f（-3）+f（3）=2f（3），
∴f（3）=0，
∴f（x+6）=f（x），
∴函數(shù)y=f（x）是以6為周期的函數(shù)，
∴f（2013）=f（335×6+3）=f（3）=0，
故選：A．

點(diǎn)評(píng)：本題考查抽象函數(shù)及其應(yīng)用，著重考查函數(shù)的奇偶性與周期性的應(yīng)用，屬于中檔題．