Question

（2010•湖北模擬）如圖，在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，D、E、G分別是AB、BB₁、AC₁的中點，AB=BB₁=2．
（Ⅰ）在棱B₁C₁上是否存在點F使GF∥DE？如果存在，試確定它的位置；如果不存在，請說明理由；
（Ⅱ）求截面DEG與底面ABC所成銳二面角的正切值．

Answer 1

分析：（I）存在且為B₁C₁的中點，連接AB₁，利用三角形的中位線的性質(zhì)，可得結(jié)論；
（II）延長FE與CB的延長線交于M，連接DM，則DM為截面與底面所成二面角的棱，取BC的中點N，作EH⊥DM于H，則∠BDM=∠BMD=30°，連BH，可得∠EHB為截面與底面所成的銳二面角，從而可得結(jié)論．

解答：解：（Ⅰ）存在且為B₁C₁的中點，連接AB₁，
∵D、E、G分別是AB₁、BB₁、AC₁的中點，∴DE∥AB₁∥GF；
（Ⅱ）延長FE與CB的延長線交于M，連接DM，則DM為截面與底面所成二面角的棱，取BC的中點N，連FN，則FN∥BB₁．
∵EB∥FN，EB=

1

2

FN，∴B為MN的中點．
由題設(shè)得BM=BN=BE=BD=1，且∠DEM=120°，
作EH⊥DM于H，則∠BDM=∠BMD=30°，連BH，
又BE⊥底面ABC，
由三垂線定理可知DM⊥EH，
∴∠EHB為截面與底面所成的銳二面角．
在Rt△EHB中，BE=1，EH=

1

2

BD=

1

2

，
∴tan∠EHB=

BE

EH

=2．

點評：本題考查三角形中位線的性質(zhì)，考查面面角，考查學(xué)生分析解決問題的能力，正確作出二面角的平面角是關(guān)鍵．