Question

如圖：∠BAD=α，∠CAD=β，．
（1）求∠BAC的大��；
（2）當(dāng)D為BC中點(diǎn)時(shí)，判斷△ABC的形狀，并求的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）由sin2α+cos2α=1求出sinα和cosβ，然后由cos∠BAC=cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ即可求出角的大��；
（2）由D為BC中點(diǎn)時(shí)得出S_△ABD=S_△ACD即可得出得，然后由余弦定理得出AB=BC進(jìn)而知∠ABC=90°，最后求出AC和AD從而得出答案．
解答：解：（1）由已知，…（2分）
cos∠BAC=cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ=
∵∠BAC∈（0，π）∴．…（4分）
（2）當(dāng)D為BC中點(diǎn)時(shí)，S_△ABD=S_△ACD，可得，
即…（6分）
由余弦定理，，
即AB=BC，知∠ABC=90°．…（8分）
設(shè)，所以，．…（12分）
點(diǎn)評(píng)：此題考查了兩角和與差公式、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系以及三角形的判斷，熟練掌握相關(guān)公式是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題．