Question

已知圓心為點(diǎn)C（2，1）的圓與直線3x+4y-35=0相切．
（1）求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）對(duì)于圓C上的任一點(diǎn)P，是否存在定點(diǎn)A（不同于原點(diǎn)O）使得

|PA|

|PO|

恒為常數(shù)？若存在，求出點(diǎn)A的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）利用圓心為點(diǎn)C（2，1）的圓與直線3x+4y-35=0相切，根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式，求出圓的半徑，即可求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）設(shè)P（x，y），定點(diǎn)A（m，n），（m，n不同時(shí)為0），根據(jù)

|PA|

|PO|

=λ（λ為常數(shù)），可得

(x-m)2+(y-n)2

x2+y2

=λ，進(jìn)而整理可得（1-λ²）（20+4x+2y）-2mx-2ny+m²+n²=0，從而

4(1-λ2)=2m 2(1-λ2)=2n 20(1-λ2)=-m2-n2

，由此可得點(diǎn)A的坐標(biāo)．

解答：解：（1）因?yàn)閳A心為點(diǎn)C（2，1）的圓與直線3x+4y-35=0相切，
所以點(diǎn)C到直線3x+4y-35=0的距離為d=

|6+4-35|

32+42

=5=r，…（2分）
所以求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為（x-2）²+（y-1）²=25．…（4分）
（2）設(shè)P（x，y），且（x-2）²+（y-1）²=25，即x²+y²=20+4x+2y
設(shè)定點(diǎn)A（m，n），（m，n不同時(shí)為0），

|PA|

|PO|

=λ（λ為常數(shù)）．
則

(x-m)2+(y-n)2

x2+y2

=λ…（6分）
兩邊平方，整理得（1-λ²）（x²+y²）-2mx-2ny+m²+n²=0
代入x²+y²=20+4x+2y后得（1-λ²）（20+4x+2y）-2mx-2ny+m²+n²=0恒成立
所以，

4(1-λ2)=2m 2(1-λ2)=2n 20(1-λ2)=-m2-n2

…（9分）
解得

m=-8 n=-4 λ= 5

即A（-8，-4）．…（10分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查圓的方程，考查直線與圓的位置關(guān)系，考查存在性問(wèn)題，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，有難度．