Question

已知焦點(diǎn)在x軸上，對稱軸為坐標(biāo)軸的橢圓的離心率為，且以該橢圓上的點(diǎn)和橢圓的兩焦點(diǎn)F₁，F(xiàn)₂為頂點(diǎn)的三角形的周長為6，
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）設(shè)過點(diǎn)N（1，0）斜率為k直線l與橢圓相交與A、B兩點(diǎn)，若，求直線l斜率k的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）直接利用離心率為，以及三角形的周長為6列出關(guān)于a，b，c的方程，求出a，b，c即可得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）先設(shè)直線l的方程為y=k（x-1），再把直線方程與橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程聯(lián)立求出A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)與k之間的關(guān)系，代入，整理后即可直線l斜率k的取值范圍．
解答：解：（1）設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，
依題有2a+2c=6，即a+c=6，又因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131101222400044376031/SYS201311012224000443760017_DA/3.png">，
所以a=2，c=1，
∴b²=a²-c²=3，
所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為
（2）設(shè)過點(diǎn)N（1，0）的斜率為k直線l的方程為y=k（x-1），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
由可得（3+4k²）x²-8k²x+4k²-12=0
∴，
∵
=（1+k²）[x₁•x₂-（x₁+x₂）+1]
=，
∴，
∴
點(diǎn)評：本題主要考查直線與圓錐曲線的綜合問題．在解決直線與圓錐曲線的位置關(guān)系時(shí)，韋達(dá)定理是一個(gè)必不可少的工具，比如本題的第二問．