Question

已知f(x)=loga

1-x

1+x

，（a＞0且a≠1）．
（1）求函數(shù)f（x）的定義域
（2）若m，n∈（-1，1），求證f(m)+f(n)=f(

m+n

1+mn

)；
（3）判斷f（x）在其定義域上的奇偶性，并予以證明．

Answer 1

分析：（1）由f(x)=loga

1-x

1+x

，知

1-x

1+x

＞0⇒-1＜x＜1，由此能求出函數(shù)f（x）的定義域．
（2）由m，n∈（-1，1），知f(m)+f(n)=loga

1-m

1+m

+loga

1-n

1+n

=loga(

1-m

1+m

•

1-n

1+n

)，由此能夠證明f(m)+f(n)=f(

m+n

1+mn

)．
（3）由f(-x)+f(x)=loga

1+x

1-x

+loga

1-x

1+x

=loga

1+x

1-x

•

1-x

1+x

=loga1=0，能夠證明f（x）在其定義域上的奇偶性．

解答：（1）解：∵f(x)=loga

1-x

1+x

，
∴

1-x

1+x

＞0⇒-1＜x＜1，
故函數(shù)f（x）的定義域是{x|-1＜x＜1}．…（4分）
（2）證明：∵m，n∈（-1，1），
∴f(m)+f(n)=loga

1-m

1+m

+loga

1-n

1+n

=loga(

1-m

1+m

•

1-n

1+n

)
=loga

1-m-n+mn

1+m+n+mn

=loga

1+mn-m-n 1+mn

1+mn+m+n 1+mn

=loga

1- m+n 1+mn

1+ m+n 1+mn

=f(

m+n

1+mn

)．
故f(m)+f(n)=f(

m+n

1+mn

)．…（8分）
（3）解：∵f(-x)+f(x)=loga

1+x

1-x

+loga

1-x

1+x

=loga

1+x

1-x

•

1-x

1+x

=loga1=0
∴f（-x）=-f（x），
即f（x）在其定義域（-1，1）上為奇函數(shù)．…（12分）

點評：本題考查對數(shù)函數(shù)的定義域的求法、求證f(m)+f(n)=f(

m+n

1+mn

)，判斷f（x）在其定義域上的奇偶性，并予以證明．解題時要認真審題，仔細解答，注意對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)的靈活運用．