Question

8．若正三棱錐P-ABC的底面邊長為2，側面與底面所成的二面角為60°，求正三棱錐的高和體積．

Answer 1

分析 作PO⊥面ABC，交面ABC于點O，連結AO并延長，交BC于D，連結PD，由已知得∠PDO=60°，先求出底面正三角形的面積，再求出OD，從而能求出正三棱錐的高和體積．

解答 解：由已知得底面△ABC是邊長為2的等邊三角形，
作PO⊥面ABC，交面ABC于點O，連結AO并延長，交BC于D，連結PD，
由正三棱錐的性質得AD⊥BC，由三垂線定理得PD⊥BC，
∵側面與底面所成的二面角為60°，∴∠PDO=60°，
∴${S}_{△ABC}=\frac{1}{2}×2×2×sin60°$=$\sqrt{3}$，
OD=$\frac{1}{3}AD$=$\frac{1}{3}\sqrt{4-1}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴正三棱錐的高PO=OD•tan60°=$\frac{\sqrt{3}}{3}×\sqrt{3}$=1，
∴正三棱錐的體積V=$\frac{1}{3}×PO×{S}_{△ABC}$=$\frac{1}{3}×1×\sqrt{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

點評 本題考查正三棱錐的高和體積的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意三垂線定理、正三棱錐的性質的合理運用．