Question

已知函數f(x)=-x³+ax²-4，a∈R，
(1)當a=3時，求f(x)在區(qū)間[-1，1]上的最大值和最小值；
(2)若存在x₀∈(0，+∞)，使得f(x₀)＞0，求a的取值范圍。

Answer 1

解：(1)當a=3時，，，
當x變化時，f′(x)、f(x)在區(qū)間[-1，1]上的變化情況如下表：

所以f(x)在區(qū)間[-1，1]上的最大值為f(-1)=0，最小值為f(0)=-4；
(2)，
若a≤0，則當x∈(0，+∞)時，f′(x)＜0，此時f(x)單調遞減，
故f(x)＜f(0)=-4，不存在使題設成立的x₀；
若a＞0，則當時，f′(x)＞0，此時f(x)單調遞增；
當時，f′(x)＜0，此時f(x)單調遞減，
故f(x)在(0，+∞)上的最大值為，
所以滿足題設的x₀存在，當且僅當，解得a＞3；
綜上，使題設成立的a的取值范圍是(3，+∞)。