Question

如圖，在四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，DD₁⊥面ABCD已知DC=DD₁=2AD=2AB，AD⊥DC，AB∥DC．
（1）設(shè)E是DC的中點(diǎn)，求證：D₁E∥平面A₁BD；
（2）求二面角A₁-BD-C₁的余弦值．
（3）求點(diǎn)C到面A₁BD的距離．

Answer 1

分析：（1）連接BE，由已知中DC=2AD=2AB，AD⊥DC，我們易得四邊形DABE為正方形，進(jìn)而可證得四邊形A₁D₁EB為平行四邊形，則D₁E∥A₁B，由線面平行的判定定理，可得D₁E∥平面A₁BD；
（2）以D為原點(diǎn)，DA，DC，DD₁所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)DA=1，求出平面A₁BD的一個法向量和平面C₁BD的一個法向量，代入向量夾角公式，即可得到二面角A₁-BD-C₁的余弦值．
（3）由（2）中的平面A₁BD的一個法向量，代入點(diǎn)到平面距離公式d=

| CB • n |

| n |

，即可求出點(diǎn)C到面A₁BD的距離．

解答：證明：（1）連接BE，則四邊形DABE為正方形，
∴BE=AD=A₁D₁，且BE∥AD∥A₁D₁，
∴四邊形A₁D₁EB為平行四邊形，∴D₁E∥A₁B．
∵D₁E?平面A₁BD，A₁B?平面A₁BD，∴D₁E∥平面A₁BD．
解：（2）以D為原點(diǎn)，DA，DC，DD₁所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，不妨設(shè)DA=1，
則D（0，0，0），A（1，0，0），B（1，1，0），C₁（0，2，2），A₁（1，0，2）．
∴

DA1

=(1，0，2)，

DB

=(1，1，0)．
設(shè)

n

=(x，y，z)為平面A₁BD的一個法向量，
由

n

⊥

DA1

，

n

⊥

DB

得

x+2y=0 x+y=0

，取z=1，則

n

=(-2，-2，1)．
設(shè)

m

=(x1，y1，z1)為平面C₁BD的一個法向量，
由

m

⊥

DC

，

m

⊥

DB

得

2y1+2z1=0 x1+y1=0

，取z₁=1，則

m

=(1，-1，1).cos＜

m

，

n

＞=

m • n

| m || n |

=

-3

9 • 3

=-

3

3

．
由于該二面角A₁-BD-C₁為銳角，所以所求的二面角A₁-BD-C₁的余弦值為

3

3

．
（3）∵C（0，2，0），∴

CB

=(1，-1，0)．
∴點(diǎn)C到面A₁BD的距離d=

| CB • n |

| n |

=

|-2-2|

4+4+1

=

4

3

．

點(diǎn)評：本題考查的知識點(diǎn)是與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題，直線與平面平行的判定，點(diǎn)到平面之間的距離，其中（1）的關(guān)鍵是證得D₁E∥A₁B，（2）、（3）的關(guān)鍵是建立空間坐標(biāo)系，將二面角問題及點(diǎn)到平面的距離轉(zhuǎn)化為用向量法解答．