Question

已知函數(shù)

   （1）求的單調(diào)區(qū)間；

   （2）對任意的，不等式恒成立，求的取值范圍；

（3）求證：當(dāng)，時(shí)，關(guān)于的方程在區(qū)間上總有兩個(gè)不同的解.

Answer 1

解：

（Ⅰ）f¢(x)＝2(x－a)ex＋(x－a)2ex＝(x－a)[x－(a－2)]ex．…………………………2分

令f¢(x)＝0，得x1＝a－2，x2＝a．

當(dāng)x變化時(shí)，f¢(x)、f(x)的變化如下：

x	(－∞，a－2)	a－2	(a－2，a)	a	(a，＋∞)
f¢(x)	＋	0	－	0	＋
f(x)	↗	極大值	↘	極小值	↗

所以

f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(－∞，a－2)，(a，＋∞)，

單調(diào)遞減區(qū)間是(a－2，a)．………………………………………………………6分

（Ⅱ）由（Ⅰ）得[f(x)]極大＝f(a－2)＝4ea－2．

（1）當(dāng)a≤1時(shí)，f(x)在(－∞，1]上的最大值為f(a－2)或f(1)，

由解得－1≤a≤1；

（2）當(dāng)a－2≤1＜a，即1＜a≤3時(shí)，f(x)在(－∞，1]上的最大值為f(a－2)，

此時(shí)f(a－2)＝4ea－2≤4e3－2＝4e；

（3）當(dāng)a－2＞1，即a＞3時(shí)，f(1)＝(a－1)2e＞4e，f(x)≤4e不恒成立．

綜上，a的取值范圍是[－1，3]．…………………………12分

（III）,

令

從而問題轉(zhuǎn)化為證明當(dāng)函數(shù)在與x軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，而，,所以在上有解,且有兩解。

                                                           （  15分 ）