Question

已知函數(shù)f（x）=x³+bx²+ax+d的圖象過點(diǎn)P（0，2），且在點(diǎn)M（-1，f（-1））處的切線方程為6x-y+7=0．
（Ⅰ）求函數(shù)y=f（x）的解析式；
（Ⅱ）求函數(shù)y=f（x）的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）求解析式，只需把a(bǔ)，b，d三個(gè)字母求出即可．已知點(diǎn)P（0，2）滿足f（x），得到d，又點(diǎn)M（-1，f（-1））處的切線方程為6x-y+7=0，可以得到f（-1）的值，并且得到f（x）在x=-1處的導(dǎo)數(shù)為6．
（Ⅱ）利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性即可求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．
解答：解：（Ⅰ）∵f（x）的圖象經(jīng)過P（0，2），∴d=2，
∴f（x）=x³+bx²+ax+2，f'（x）=3x²+2bx+a．
∵點(diǎn)M（-1，f（-1））處的切線方程為6x-y+7=0
∴f'（x）|_x=-1=3x²+2bx+a|_x=-1=3-2b+a=6①，
還可以得到，f（-1）=y=1，即點(diǎn)M（-1，1）滿足f（x）方程，得到-1+b-a+2=1②
由①、②聯(lián)立得b=a=-3
故所求的解析式是f（x）=x³-3x²-3x+2．
（Ⅱ）f'（x）=3x²-6x-3．，令3x²-6x-3=0，即x²-2x-1=0．
解得．當(dāng)；
當(dāng)．
故f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（-∞，1-），（1+，+∞）；單調(diào)減區(qū)間為（1-，1+）
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了兩個(gè)知識(shí)點(diǎn)，一是導(dǎo)數(shù)的幾何意義，二是利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，屬于函數(shù)這一內(nèi)容的基本知識(shí)，更應(yīng)該熟練掌握．