Question

如圖，設(shè)拋物線（）的準(zhǔn)線與軸交于，焦點(diǎn)為；以、為焦點(diǎn)，離心率的橢圓與拋物線在軸上方的一個(gè)交點(diǎn)為.

（1）當(dāng)時(shí)，求橢圓的方程；

（2）在（1）的條件下，直線經(jīng)過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)，與拋物線交于、，如果以線段為直徑作圓，試判斷點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；

（3）是否存在實(shí)數(shù)，使得的邊長(zhǎng)是連續(xù)的自然數(shù)，若存在，求出這樣的實(shí)數(shù)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

 

Answer 1

【答案】

（1）（2）即點(diǎn)可在圓內(nèi)，圓上或圓外

（3）時(shí)，能使的邊長(zhǎng)是連續(xù)的自然數(shù)

【解析】

解：∵的右焦點(diǎn)  ∴橢圓的半焦距，又，

∴橢圓的長(zhǎng)半軸的長(zhǎng)，短半軸的長(zhǎng).  橢圓方程為.

（1）當(dāng)時(shí)，故橢圓方程為， 3分

（2）依題意設(shè)直線的方程為：，

聯(lián)立 得點(diǎn)的坐標(biāo)為.

將代入得.

設(shè)、，由韋達(dá)定理得，.

又，.

∵，于是的值可能小于零，等于零，大于零。

即點(diǎn)可在圓內(nèi)，圓上或圓外.   ………………………………9分

（3）假設(shè)存在滿足條件的實(shí)數(shù)，  由解得：.

∴，，又.

即的邊長(zhǎng)分別是、、 . ∴時(shí)，能使的邊長(zhǎng)是連續(xù)的自然數(shù)。 14分

考點(diǎn)：橢圓的方程，直線與橢圓的位置關(guān)系

點(diǎn)評(píng)：解決該試題的關(guān)鍵是熟練的運(yùn)用橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)來(lái)求解參數(shù)a,b,c的值，得到方程，并利用聯(lián)立方程組的思想求解弦長(zhǎng)，拋物線的定義是解決的關(guān)鍵點(diǎn)。屬于基礎(chǔ)題。