Question

設(shè)α∈（0，

π

2

），函數(shù)f（x）的定義域?yàn)閇0，1]，且f（0）=0，f（1）=1，對定義域內(nèi)任意的x，y，滿足f（

x+y

2

）=f（x）sinα+（1-sinα）f（y），求：
（1）f（

1

2

）及sinα的值；
（2）函數(shù)g（x）=sin（α-2x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（3）（理）n∈N時，a_n=

1

2n

，求f（a_n），并猜測x∈[0，1]時，f（x）的表達(dá)式（不需證明）．

Answer 1

分析：（1）分別取x=1，y=0與x=0，y=1，求出sinα的值，從而求出f（

1

2

）的值；
（2）先求出α，然后根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)區(qū)間求出該函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，將

π

6

-2x看成整體進(jìn)行求解即可；
（3）根據(jù)條件可得f（a_n）是首項為f（a₁）=

1

2

，公比為

1

2

的等比數(shù)列，即可猜測：f（x）=x．

解答：解：（1）f（

1

2

）=f（1）sinα+（1-sinα）f（0）=sinα，
又：f（

1

2

）=f（0）sinα+（1-sinα）f（1）=1-sinα，
∴sinα=1-sinα?sinα=

1

2

∴f（

1

2

）=1-

1

2

=

1

2

（2）由（1）知：sinα=

1

2

，又α∈（0，

π

2

）
∴α=

π

6

∴g（x）=sin（

π

6

-2x），
∴g（x）的增區(qū)間為[kπ-

2π

3

，kπ-

π

6

]（k∈Z）．
（3）∵n∈N，a_n=

1

2n

，f（a_n）=f（

1

2n

）（n∈N，n≥2）
∴f（a_n）是首項為f（a₁）=

1

2

，公比為

1

2

的等比數(shù)列，故f（a_n）=f（a₁）•q^n-1′=

1

2n

，猜測：f（x）=x．

點(diǎn)評：本題主要考查了正弦函數(shù)的單調(diào)性，以及數(shù)列與函數(shù)的綜合，同時考查了計算能力，屬于中檔題．