Question

已知正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長為2a，若E為棱CC₁的中點．
（Ⅰ）求證：A₁E⊥BD；
（Ⅱ）求二面角A₁-BD-E的大��；
（Ⅲ）求四面體A₁-BDE的體積．

Answer 1

分析：（I）連接AC，設AC∩DB=O，連接A₁O，OE，由正方體的幾何特征可得AC為A₁E在底面ABCD內(nèi)的射影，進而由三垂線定理可得A₁E⊥BD；
（Ⅱ）由正方體的幾何特征可得三角形A₁BD為等邊三角形，則BD⊥A₁O，又BD⊥A₁E，由線面垂直的判定定理可得BD⊥平面A₁OE，則∠A₁OE為二面角A₁-BD-E的平面角，解三角形A₁OE，即可求出二面角A₁-BD-E的大小；
（Ⅲ）由平面A₁BD垂直于平面BDE，且A₁O⊥BD，由面面垂直的性質(zhì)，可得A₁O⊥平面BDE，即四面體A₁-BDE是以三角形BDE為底面，以A₁O為高的棱錐，代入棱錐體積公式，即可得到答案．

解答：解：（Ⅰ）證明：連接AC，
設AC∩DB=O，連接A₁O，OE，
∵點E在棱CC₁上，
∴AC為A₁E在底面ABCD內(nèi)的射影．
由AC⊥BD，
根據(jù)三垂線定理，
∴A₁E⊥BD．                                         …（3分）
（Ⅱ）在等邊三角形A₁BD中，BD⊥A₁O，又BD⊥A₁E，A₁O?平面A₁OE，A₁E?平面A₁OE，A₁O∩A₁E=A₁，
∴BD⊥平面A₁OE．
于是BD⊥OE，
∴∠A₁OE為二面角A₁-BD-E的平面角．              …（7分）
∵正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長為2a，E為棱CC₁的中點，
由平面幾何知識，得EO=

3

a

，A1O= 6 a，A1E=3a

，
滿足A₁E²=A₁O²+EO²，
∴∠A₁OE=90°．                                    …（9分）
（Ⅲ）由平面A₁BD垂直于平面BDE，且A₁O⊥BD，
∴A₁O⊥平面BDE．…（12分）
VB-A1DE=VA1-BDE=

1

3

S△BDE•A1O=

1

3

•

1

2

•2

2

a•

3

a•

6

a=2a3．

點評：本題考查的知識點是與二面角有關的立體幾何綜合題，棱錐的體積，空間中直線與直線之間的位置，其中（I）的關鍵是得到AC為A₁E在底面ABCD內(nèi)的射影，為三垂線定理的使用創(chuàng)造條件；（II）的關鍵是確定出∠A₁OE為二面角A₁-BD-E的平面角，（III）的關鍵是確定出四面體A₁-BDE是以三角形BDE為底面，以A₁O為高的棱錐．