Question

【題目】如圖，在四棱錐中， 底面，底面為矩形，且， 為的中點.

（1）過點作一條射線，使得，求證：平面平面；

（2）求二面角的正切值.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）.

【解析】試題分析：（1）由題意畫出圖形，連接AC交BD于F，連接FE，由底面ABCD為矩形，得F為AC的中點，又E為PC的中點，利用三角形中位線定理可得EF∥PA，則PA∥平面BDE，再由AG∥BD，利用線面平行的判定可得AG∥平面BDE，結合面面平行的判定得平面PAG∥平面BDE；

（2）取CD的中點H，連接EH，則EH∥PD，因為PD⊥底面ABCD，所以EH⊥底面ABCD，

過H作MH⊥BD，垂足為M，連接EM，則∠EMH就是二面角E-BD-C的平面角，求出即可.

試題解析：

（1）在矩形ABCD中，連接AC，

設其與BD交于點O，連接OE，則O是AC的中點，

又E是PC的中點，所以 OE∥PA，

又平面BDE， 平面BDE，所以PA∥平面BDE

同理AG∥平面BDE.

因為AG=A，

所以平面PAG∥平面BDE.；

（2）取CD的中點H，連接EH，則EH∥PD，

因為PD⊥底面ABCD，所以EH⊥底面ABCD，

過H作MH⊥BD，垂足為M，連接EM，

則∠EMH就是二面角E-BD-C的平面角

令AD＝１．則PD＝１，AB＝２，

在Rt△EMH中，易求得EH＝，MH＝，

∠EMH＝

所以二角面E-BD-C的正切值為