Question

已知橢圓C₁：+=1（a＞b＞0），的右焦點(diǎn)為F，上頂點(diǎn)為A，P為C1上任一點(diǎn)，圓心在y軸上的圓C2與斜率為-1的直線l切于點(diǎn)B（-，3-），且AF∥l．
（1）求圓的方程及橢圓的離心率．
（2）過P作圓C2的切線PE，PG，若的最小值為-，求橢圓的方程．

Answer 1

【答案】分析：（1）由圓心在y軸上的圓C2與斜率為1的直線l切于點(diǎn)B（-），所以圓心在過B且垂直于l的直線y=x+3上，又圓心在y軸上，則圓心C2（0，3），圓心到直線l：y=-x+3-的距離，由此能求出橢圓的離心率．
（2）設(shè)∠EC₂G=2a，則=cos2α=2cos²α-1，在Rt△PC₂E中，，由橢圓的幾何性質(zhì)有：，由此能求出橢圓的方程．
解答：解：（1）由圓心在y軸上的圓C2與斜率為1的直線l切于點(diǎn)B（-），所以圓心在過B且垂直于l的直線y=x+3上，又圓心在y軸上，則圓心C₂（0，3），
圓心到直線l：y=-x+3-的距離，所以所求圓C2方程為：x²+（y-3）²=1，又AF∥l，F(xiàn)（c，0），A（0，b），所以有，即b=c，橢圓的離心率為；
（2）設(shè)∠EC₂G=2a，則=cos2α=2cos²α-1，
在Rt△PC₂E中，，由橢圓的幾何性質(zhì)有：，
cosα=，所以有，因b＞0，所以b=2，
所以橢圓的方程為．
點(diǎn)評：本題考查橢圓的方程和橢圓的離心率的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意挖掘題設(shè)條件，合理運(yùn)用橢圓性質(zhì)，恰當(dāng)進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．