Question

（1）是否存在正整數(shù)的無窮數(shù)列{a_n}，使得對任意的正整數(shù)n都有a_n+1²≥2a_na_n+2．
（2）是否存在正無理數(shù)的無窮數(shù)列{a_n}，使得對任意的正整數(shù)n都有a_n+1²≥2a_na_n+2．

Answer 1

解：（1）假設(shè)存在正整數(shù)數(shù)列{a_n}滿足條件．
∵a_n+1²≥2a_na_n+2，a_n＞0，∴，…
又，所以有對n=2，3，4，成立．
∴
所以．
設(shè)a₂²∈[2^k，2^k+1），k∈N，取N=k+3，則有，
這與a_N是正整數(shù)矛盾．
所以不存在正整數(shù)數(shù)列{a_n}滿足條件．
（2）就是滿足條件的一個無理數(shù)數(shù)列．此時有a_n+1²=4a_na_n+2≥2a_na_n+2．
分析：（1）假設(shè)存在正整數(shù)數(shù)列{a_n}滿足條件，即a_n+1²≥2a_na_n+2，a_n＞0，整式化為分式，得到…，即，進(jìn)一步論證即可說明不存在；
（2）舉例說明即可，如，代入a_n+1²≥2a_na_n+2進(jìn)行驗證即可．
點評：此題是個中檔題．考查學(xué)生靈活應(yīng)用知識分析、解決問題的能力，特別是問題（1）的設(shè)問形式，增加了題目的難度，對學(xué)生的邏輯思維要求特別高，靈活性強(qiáng)．