Question

（2012•寶雞模擬）已知函數(shù)f(x)=

1

2

x2+2ax，g(x)=3a2lnx+b，其中a＞0．設(shè)它們的圖象有公共點(diǎn)，且在該點(diǎn)處的切線相同．
（1）試用a表示b；
（2）求F（x）=f（x）-g（x）的極值；
（3）求b的最大值．

Answer 1

分析：（1）設(shè)公共點(diǎn)的坐標(biāo)，求導(dǎo)函數(shù)，利用在該點(diǎn)處的切線相同，即可用a表示b；
（2）求導(dǎo)函數(shù)，確定F（x）的單調(diào)性，從而可求函數(shù)的極值；
（3）由（1）知，令h（t）=

5

2

t2-3t2lnt（t＞0），求導(dǎo)數(shù)，確定函數(shù)的單調(diào)性，從而可得b的最大值

解答：解：（1）設(shè)公共點(diǎn)的坐標(biāo)為（x₀，y₀），
求導(dǎo)函數(shù)f′(x)=x+2a，g′(x)=

3a2

x

，則f（x₀）=g（x₀），f′（x₀）=g′（x₀）
∴

1

2

x02+2ax0=3a2lnx0+b，x0+2a=

3a2

x0

∴x₀=a或x₀=-3a（舍去）
∴b=

5

2

a2-3a2lna；
（2）F（x）=f（x）-g（x）=

1

2

x2+2ax-3a2lnx-b(x＞0)
∴F′（x）=

(x-a)(x+3a)

x

(x＞0)
∴F（x）在（0，a）上為減函數(shù)，在（a，+∞）上為增函數(shù)
∴x=a時(shí)，F(xiàn)（x）有極小值0，無極大值；
（3）由（1）知，令h（t）=

5

2

t2-3t2lnt（t＞0），則h′（t）=2t（1-3lnt）
當(dāng)t（1-3lnt）＞0，即0＜t＜e

1

3

時(shí)，h′（t）＞0；當(dāng)t（1-3lnt）＜0，即t＞e

1

3

時(shí)，h′（t）＜0，
∴h（t）在（0，e

1

3

）上為增函數(shù)，在（e

1

3

，+∞）上為減函數(shù)
∴h（t）在（0，+∞）上的最大值即為最大值h（e

1

3

）=

3

2

e

2

3

即b的最大值為

3

2

e

2

3

．

點(diǎn)評：本題考查導(dǎo)數(shù)知識的運(yùn)用，考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查函數(shù)的極值與最值，正確求導(dǎo)，確定函數(shù)的單調(diào)性是關(guān)鍵．