如圖，已知拋物線C：y2=2px（p＞0）上橫坐標(biāo)為4的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為5．
（Ⅰ）求拋物線C的方程；
（Ⅱ）設(shè)直線y=kx+b與拋物線C交于兩點(diǎn)A（x1，y1），B（x2，y2），且|y1-y2|=a（a為正常數(shù)）．過弦AB的中點(diǎn)M作平行于x軸的直線交拋物線C于點(diǎn)D，連接AD、BD得到△ABD．
（i）求實(shí)數(shù)a，b，k滿足的等量關(guān)系；
（ii）△ABD的面積是否為定值？若為定值，求出此定值；若不是定值，請說明理由．
（Ⅰ）依題意：4+
1
2
p=5，解得p=2．
∴拋物線方程為y2=4x．
（Ⅱ）（i）由方程組
y=kx+b
y2=4x
消去x得：ky2-4y+4b=0．（※）
依題意可知：k≠0．
由已知得y1+y2=
4
k
，y1y2=
4b
k
．
由|y1-y2|=a，得(y1+y2)2-4y1y2=a2
依題意：4+
1
2
p=5，解得p=2．
∴拋物線方程為y2=4x．
（Ⅱ）（i）由方程組
y=kx+b
y2=4x
消去x得：ky2-4y+4b=0．（※）
依題意可知：k≠0．
由已知得y1+y2=
4
k
，y1y2=
4b
k

由|y1-y2|=a，得(y1+y2)2-4y1y2=a2，即
16
k2
-
16b
k
=a2，整理得16-16kb=（ak）2．
所以（ak）2=16（1-kb）
（ii）由（i）知AB中點(diǎn)M（
2-bk
k2
，
2
k
），所以點(diǎn)D（
1
k2
，
2
k
），
依題意知S△ABD=
1
2
DM•|y1-y2|
=
1
2
•
|1-bk|
k2
•a
又因?yàn)榉匠蹋ā┲信袆e式△=16-16kb＞0，得1-kb＞0．
所以S△ABD=
1
2
×
1-kb
k2
a，由（Ⅱ）可知1-kb=
(ak)2
16
，
所以S△ABD=
1
2
×
a2
16
×a=
a3
32
．
又a為常數(shù)，故△ABD的面積為定值．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的離心率為
6
3
，短軸一個端點(diǎn)到右焦點(diǎn)的距離為
3
．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)直線l與橢圓C交于A、B兩點(diǎn)，以AB弦為直徑的圓過坐標(biāo)原點(diǎn)O，試探討點(diǎn)O到直線l的距離是否為定值？若是，求出這個定值；若不是，說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知拋物線y2=2px（p＞0）的焦點(diǎn)為F，過F且斜率為
3
直線與拋物線在x軸上方的交點(diǎn)為M，過M作y軸的垂線，垂足為N，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若四邊形OFMN的面積為4
3
．
（1）求拋物線的方程；
（2）若P，Q是拋物線上異于原點(diǎn)O的兩動點(diǎn)，且以線段PQ為直徑的圓恒過原點(diǎn)O，求證：直線PQ過定點(diǎn)，并指出定點(diǎn)坐標(biāo)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：填空題

AB是過C：y2=4x焦點(diǎn)的弦，且|AB|=10，則AB中點(diǎn)的橫坐標(biāo)是______．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：單選題

過雙曲線x2-y2=1上一點(diǎn)Q作直線x+y=2的垂線，垂足為N，則線段QN的中點(diǎn)P的軌跡方程為（　�。�
A．2x2-2y2-2x-1=0B．x2+y2=1
C．2x2+2y2-y=0D．2x2-2y2-2x+2y-1=0

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知拋物線y2=6x，過點(diǎn)p（3，1）引一條弦p1p2使它恰好被點(diǎn)p平分，求這條弦所在直線方程及|p1p2|．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖，已知雙曲線
x2
a2
-
y2
b2
=1（a＞0，b＞0）其右準(zhǔn)線交x軸于點(diǎn)A，雙曲線虛軸的下端點(diǎn)為B，過雙曲線的右焦點(diǎn)F（c，0）作垂直于x軸的直線交雙曲線于點(diǎn)P，若點(diǎn)D滿足：2
OD
=
OF
+
OP
（O為原點(diǎn)）且
AB
=λ
AD
(λ≠0)
（1）求雙曲線的離心率；
（2）若a=2，過點(diǎn)B的直線l交雙曲線于M、N兩點(diǎn)，問在y軸上是否存在定點(diǎn)C，使?
CM
•
CN
為常數(shù)，若存在，求出C點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

（文科）一動圓過定點(diǎn)P（0，1），且與定直線l：y=-1相切．
（1）求動圓圓心C的軌跡方程；
（2）若（1）中的軌跡上兩動點(diǎn)記為A（x1，y1），B（x2，y2），且x1x2=-16．
①求證：直線AB過一定點(diǎn)，并求該定點(diǎn)坐標(biāo)；
②求|PA|+|PB|的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

三角形ABC的兩頂點(diǎn)A（-2，0），B（0，-2），第三頂點(diǎn)C在拋物線y=x2+1上，求三角形ABC的重心G的軌跡．

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同步練習(xí)冊答案