已知圓M的方程為x2+（y-2）2=1，直線l的方程為x-2y=0，點(diǎn)P在直線l上，過點(diǎn)P作圓M的切線PA，PB，切點(diǎn)為A，B。
（1）若∠APB=60°，求線段AB的長；
（2）當(dāng)∠APB最大時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）求證：經(jīng)過A、P、M三點(diǎn)的圓必過定點(diǎn)，并求出所有定點(diǎn)的坐標(biāo)。
解：（1）由題意知，△PAB為等邊三角形，所以線段AB的長就是切線長PA，
法一：∵∠APB=60°，由題可知MP=2，
∴；
法二：∵∠APB=60°，
∴等腰三角形MAB中，∠AMB=120°
而半徑MA=1，
∴；
（2）記∠APB=2θ，則在直角三角形MAP中，有，
當(dāng)∠APB最大時(shí)，有MP最小，此時(shí)MP垂直于直線直線l：x-2y=0，
設(shè)P（2m，m），
∵M(jìn)（0，2），
∴，
∴，
∴點(diǎn)P坐標(biāo)為；
（3）設(shè)P（2m，m），MP的中點(diǎn)，因?yàn)镻A是圓M的切線，
所以經(jīng)過A，P，M三點(diǎn)的圓是以Q為圓心，以MQ為半徑的圓，
故其方程為：
化簡得：，
此式是關(guān)于m的恒等式，
故解得或，
所以經(jīng)過A，P，M三點(diǎn)的圓必過定點(diǎn)（0，2）或（1，1）。
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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知圓M的方程為x2+（y-2）2=1，直線l的方程為x-2y=0，點(diǎn)P在直線l上，過P點(diǎn)作圓M的切線PA，PB，切點(diǎn)為A，B．
（1）若∠APB=60°，試求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（2）若P點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，1），過P作直線與圓M交于C，D兩點(diǎn)，當(dāng)CD=
2
時(shí)，求直線CD的方程；
（3）求證：經(jīng)過A，P，M三點(diǎn)的圓必過定點(diǎn)，并求出所有定點(diǎn)的坐標(biāo)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在直角坐標(biāo)系xOy中，已知圓M的方程為x2+y2-4xcosα-2ysinα+3cos2α=0（α為參數(shù)），直線l的參數(shù)方程為
x=tcosθ
y=1+tsinθ
(t為參數(shù)）
（I）求圓M的圓心的軌跡C的參數(shù)方程，并說明它表示什么曲線；
（II）求直線l被軌跡C截得的最大弦長．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知圓M的方程為x2+（y-2）2=1，直線l的方程為x-2y=0，點(diǎn)P在直線l上，過點(diǎn)P作圓M的切線PA，PB，切點(diǎn)為A，B．
（1）若∠APB=60°，試求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（2）若P點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，1），過P作直線與圓M交于C，D兩點(diǎn)，當(dāng)CD=
2
時(shí)，求直線CD的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2012-2013學(xué)年湖北省宜昌一中高二（上）期中數(shù)學(xué)試卷（文科）（解析版） 題型：解答題

已知圓M的方程為x2+（y-2）2=1，直線l的方程為x-2y=0，點(diǎn)P在直線l上，過點(diǎn)P作圓M的切線PA，PB，切點(diǎn)為A，B．
（1）若∠APB=60°，試求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（2）若P點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，1），過P作直線與圓M交于C，D兩點(diǎn)，當(dāng)CD=時(shí)，求直線CD的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2013屆山西省高三12月月考理科數(shù)學(xué)試卷（解析版） 題型：解答題

已知圓M的方程為x2＋(y－2)2＝1，直線l的方程為x－2y＝0，點(diǎn)P在直線l上，過點(diǎn)P作圓M的切線PA，PB，切點(diǎn)為A，B.

(Ⅰ)若∠APB＝60°，試求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

(Ⅱ)若P點(diǎn)的坐標(biāo)為(2,1)，過P作直線與圓M交于C，D兩點(diǎn)，當(dāng)CD＝時(shí)，求直線CD的方程.

 

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