已知函數(shù)f(x)=
sin2x+cos2x+1
2cosx
．
（1）求f（x）的定義域和值域；
（2）若x∈(-
π
4
，
π
4
)，且f(x)=
3
2
5
，求cos2x的值．
（3）若曲線f（x）在點P（x0，f（x0））(-
π
2
＜x0＜
π
2
)處的切線平行直線y=
6
2
x，求x0的值．
分析：（1）根據(jù)分式有意義的條件可得，cosx≠0，求解即可得函數(shù)的定義域；利用二倍角公式及輔助角對函數(shù)化簡可得f（x）=
2
sin(x+
π
4
)，結合正弦函數(shù)性質可求函數(shù)的值域，
（2）由于cos2x=sin（2x+
π
2
）=sin[2（x+
π
4
）]，故需要求sin（x+
π
4
），cos（x+
π
4
），由f(x)=
3
2
5
代入可求sin（x+
π
4
），結合已知條件中 x的范圍可求cos（x+
π
4
），然后代入可求，
（3）對函數(shù)求導可得，f/（x）=cosx-sinx代入已知可得，f/(x0)=cosx0-sinx0=
2
cos(x0+
π
4
)=
6
2

從而可得cos(x0+
π
4
)=
3
2
結合-
π
4
＜x0+
π
4
＜
3π
4
可求．
解答：解（1）f(x)=
2sinxcosx+2cos2x-1+1
2cosx
=sinx+cosx=
2
sin(x+
π
4
)（2分）
由2cosx≠0，得x≠kπ+
π
2
(k∈Z)，
∴x+
π
4
≠kπ+
3π
4
(k∈Z)（4分）
則f(x)的值域為{y|-
2
≤y≤
2
}（6分）
（2）∵f(x)=
3
2
5
，∴
2
sin(x+
π
4
)=
3
2
5
．
∴sin(x+
π
4
)=
3
5
（7分）
∵-
π
4
＜x＜
π
4
，∴0＜x+
π
4
＜
π
2

∴cos(x+
π
4
)=
4
5
（8分）
∴cos2x=sin(2x+
π
2
)=2sin（x+
π
4
）cos（x+
π
4
）=
24
25
（10分）
（3）f/（x）=cosx-sinx
由題意得f/(x0)=cosx0-sinx0=
2
cos(x0+
π
4
)=
6
2
（12分）
∴cos(x0+
π
4
)=
3
2
又∵-
π
4
＜x0+
π
4
＜
3π
4

∴x0+
π
4
=
π
6
，-
π
6
∴x0=-
π
12
，-
5π
12
（14分）
點評：本題主要考查了正弦函數(shù)的定義域及值域的求解，輔助角公式的應用，導數(shù)的基本運算，及由三角函數(shù)值求解角等知識的綜合運用．
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相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（附加題）
（Ⅰ）設非空集合S={x|m≤x≤l}滿足：當x∈S時有x2∈S，給出下列四個結論：
①若m=2，則l=4
②若m=-
1
2
，則
1
4
≤l≤1
③若l=
1
2
，則-
2
2
≤m≤0④若m=1，則S={1}，
其中正確的結論為
②③④
②③④
．
（Ⅱ）已知函數(shù)f(x)=x+
a
x
+b(x≠0)，其中a，b∈R．若對于任意的a∈[
1
2
，2]，f（x）≤10在x∈[
1
4
，1]上恒成立，則b的取值范圍為
（-∞，
7
4
]
（-∞，
7
4
]
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

將正奇數(shù)列{2n-1}中的所有項按每一行比上一行多一項的規(guī)則排成如下數(shù)表：
記aij是這個數(shù)表的第i行第j列的數(shù)．例如a43=17
（Ⅰ）  求該數(shù)表前5行所有數(shù)之和S；
（Ⅱ）2009這個數(shù)位于第幾行第幾列？
（Ⅲ）已知函數(shù)f(x)=
3x
3n
（其中x＞0），設該數(shù)表的第n行的所有數(shù)之和為bn，
數(shù)列{f（bn）}的前n項和為Tn，求證Tn＜
2009
2010
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2012•開封二模）已知函數(shù)f(x)=sin(x+
π
6
)+2sin2
x
2
．
（I）求函數(shù)f（x）的單調遞增區(qū)間；
（II）記△ABC的內角A、B、C所對的邊長分別為a、b、c若f(A)=
3
2
，△ABC的面積S=
3
2
，a=
3
，求b+c的值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2011•黑龍江一模）已知函數(shù)f(x)=
3
2
sinxcosx-
3
2
sin2x+
3
4
．
（Ⅰ） 求函數(shù)f（x）的單調遞增區(qū)間；
（Ⅱ）已知△ABC中，角A，B，C所對的邊長分別為a，b，c，若f（A）=0，a=
3
，b=2，求△ABC的面積S．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2012•黃山模擬）已知函數(shù)f(x)=ln2(1+x)，g(x)=
x2
1+x
．
（Ⅰ）分別求函數(shù)f（x）和g（x）的圖象在x=0處的切線方程；
（Ⅱ）證明不等式ln2(1+x)≤
x2
1+x
；
（Ⅲ）對一個實數(shù)集合M，若存在實數(shù)s，使得M中任何數(shù)都不超過s，則稱s是M的一個上界．已知e是無窮數(shù)列an=(1+
1
n
)n+a所有項組成的集合的上界（其中e是自然對數(shù)的底數(shù)），求實數(shù)a的最大值．

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