Question

已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，an+1=

2an，     n為奇數(shù) an+2，  n為偶數(shù)

，且a₁+a₃+a₅+…+a_2k-1=3049，則正整數(shù)k的值為（　�。�

A．11

B．8

C．10

D．9

Answer 1

分析：由題意可得：a_2k+1=a_2k+2，a_2k=a_2k-1+1=2a_2k-1，（k∈N^*）．于是a_2k+1=2a_2k-1+2，化為a_2k+1+2=2（a_2k-1+2），
可得數(shù)列{a_2k-1+2}是以3為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列．再利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和公式即可得出．

解答：解：由題意可得：a_2k+1=a_2k+2，a_2k=a_2k-1+1=2a_2k-1，（k∈N^*）
∴a_2k+1=2a_2k-1+2，
化為a_2k+1+2=2（a_2k-1+2），
∴數(shù)列{a_2k-1+2}是以3為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，
∴a_2k-1+2=3×2^k-1，化為a2k-1=3×2k-1-2．
∴3049=a₁+a₃+a₅+…+a_2k-1=3×（1+2+2²+…+2^k-1）-2k=

3×(2k-1)

2-1

-2k=3×2^k-3-2k，
化為3×2^k-1=1526+k，
∵2^10-1=512滿足上式，故k=10．
故選C．

點(diǎn)評(píng)：熟練掌握等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和公及其2ⁿ的冪值是解題的關(guān)鍵．