Question

在△ABC中，sin²A+cos²B=1，則cosA+cosB+cosC的最大值為（　　）

• A、

  5

  4

• B、

  2

• C、1
• D、

  3

  2

Answer 1

分析：利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系和已知得到B=A，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理得到C=π-A-B=π-2A，把B和C代入到所求的式子中，利用誘導(dǎo)公式及二倍角的余弦公式化簡(jiǎn)可得一個(gè)關(guān)于cosA的二次函數(shù)，根據(jù)cosA的取值范圍，利用二次函數(shù)求最值的方法得到原式的最大值．

解答：解：由sin²A+cos²B=1，得sin²A=sin²B，
∴A=B，又A+B+C=π，得C=π-A-B=π-2A
則cosA+cosB+cosC=2cosA-cos2A=-2cos²A+2cosA+1．
又0＜A＜

π

2

，0＜cosA＜1．
∴cosA=

1

2

時(shí)，有最大值

3

2

．
故選D

點(diǎn)評(píng)：此題是把三角函數(shù)的化簡(jiǎn)和二次函數(shù)求最值的問題綜合在一起的題，要求學(xué)生靈活運(yùn)用三角函數(shù)的恒等變換化簡(jiǎn)求值．學(xué)生在求二次函數(shù)最大值的時(shí)候應(yīng)考慮自變量的取值范圍，判斷其頂點(diǎn)能否取到．