Question

已知，點(diǎn)在曲線(xiàn)y=f（x）上（n∈N^*）且a₁=1，a_n＞0．
（Ⅰ）求證：數(shù)列為等差數(shù)列，并求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為S_n，若對(duì)于任意的n∈N^*，存在正整數(shù)t，使得恒成立，求最小正整數(shù)t的值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）根據(jù)，點(diǎn)在曲線(xiàn)y=f（x）上，可得，即-=4，故可得是以1為首項(xiàng)，4為公差的等差數(shù)列，即可求得數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ） 對(duì)通項(xiàng)裂項(xiàng)，再進(jìn)行求和，從而對(duì)于任意的n∈N^*使得恒成立，所以只要，由此可得結(jié)論．
解答：（Ⅰ）證明：∵，點(diǎn)在曲線(xiàn)y=f（x）上
∴
∴-=4
所以是以1為首項(xiàng)，4為公差的等差數(shù)列． 
∴=4n-3
∵a_n＞0，∴a_n=
（Ⅱ）解：．
∴S_n=b₁+b₂+…+b_n=（1-+-+…+）=＜
對(duì)于任意的n∈N^*使得恒成立，所以只要
∴或，所以存在最小的正整數(shù)t=2符合題意
點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列與函數(shù)的綜合，考查數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查裂項(xiàng)法求數(shù)列的和，考查恒成立問(wèn)題，選擇正確的方法是關(guān)鍵．