Question

選修4-5；不等式選講．
已知a∈R，設關于x的不等式|2x-a|+|x+3|≥2x+4的解集為A．
（Ⅰ）若a=1，求A；
（Ⅱ）若A=R，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（I）利用絕對值的幾何意義，化去絕對值，解不等式，可得結論；
（II）當x≤-2時，|2x-a|+|x+3|≥0≥2x+4成立，當x＞-2時，|2x-a|+|x+3|=|2x-a|+x+3≥2x+4，從而可求a的取值范圍．
解答：解：（I）若a=1，則|2x-1|+|x+3|≥2x+4
當x≤-3時，原不等式可化為-3x-2≥2x+4，可得x≤-3
當-3＜x≤時，原不等式可化為4-x≥2x+4，可得3x≤0
當x＞時，原不等式可化為3x+2≥2x+4，可得x≥2
綜上，A={x|x≤0，或x≥2}；
（II）當x≤-2時，|2x-a|+|x+3|≥0≥2x+4成立
當x＞-2時，|2x-a|+|x+3|=|2x-a|+x+3≥2x+4
∴x≥a+1或x≤
∴a+1≤-2或a+1≤
∴a≤-2
綜上，a的取值范圍為a≤-2．
點評：本題考查絕對值不等式，考查分類討論的數學思想，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．