Question

某工廠修建一個長方體形無蓋蓄水池，其容積為4800立方米，深度為3米．池底每平方米的造價為150元，池壁每平方米的造價為120元．設池底長方形長為x米．
（Ⅰ）求底面積，并用含x的表達式表示池壁面積；
（Ⅱ）當x為何值時，水池的總造價最低？

Answer 1

解：（Ⅰ）設水池的底面積為S₁，池壁面積為S₂，
則有（平方米），
可知，池底長方形寬為米，則．…（6分）
（Ⅱ）設總造價為y，則
當且僅當，即x=40時取等號，
所以x=40時，總造價最低為297600元．
答：x=40時，總造價最低為297600元．…（12分）
分析：（I）水池的底面積為S₁，池壁面積為S₂，根據池底長方形長為x米，容積為4800立方米，深度為3米，先后計算出底面面積，底面寬，進而得到池壁面積的表達式．
（II）由（I）中池壁面積和底面面積，結合池底每平方米的造價為150元，池壁每平方米的造價為120元易構造出總造價的表達式，根據基本不等式，即可得到當x為何值時，水池的總造價最低．
點評：本題考查的知識點是函數模型的選擇與應用，基本不等式在最值問題中的應用，其中根據已知條件，分析數量關系后，將實際問題轉化為一個函數模型，將問題轉化為求函數最值問題，是解答本題的關鍵．