Question

已知單位圓⊙O：x²+y²=1，A（1，0），B是圓上的動(dòng)點(diǎn)，∥，．
（1）求點(diǎn)P的軌跡E的方程；
（2）求過(guò)A作直線(xiàn)l被E截得的弦長(zhǎng)的最小值．

Answer 1

【答案】分析：（1）設(shè)P（x，y），B（m，n），用坐標(biāo)表示向量，根據(jù)∥，，可得，利用點(diǎn)B在單位圓上，即可點(diǎn)P的軌跡E的方程；
（2）設(shè)直線(xiàn)方程為x=my+1，代入拋物線(xiàn)方程可得y²-2my-1=0，利用韋達(dá)定理及弦長(zhǎng)公式，即可求得過(guò)A作直線(xiàn)l被E截得的弦長(zhǎng)的最小值．
解答：解：（1）設(shè)P（x，y），B（m，n），則
∵∥，．
∴my=n（x-1），（m-1）（x-1）+ny=1
∴
∵m²+n²=1
∴y²=2x-1
（2）設(shè)直線(xiàn)方程為x=my+1，代入拋物線(xiàn)方程可得y²-2my-1=0，則△=4m²+4＞0
設(shè)過(guò)A作直線(xiàn)l被E截得的弦的端點(diǎn)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
∴y₁+y₂=2m，y₁y₂=-1
∴|AB|==2（1+m²）≥2（當(dāng)且僅當(dāng)m=0時(shí)取等號(hào)）
∴過(guò)A作直線(xiàn)l被E截得的弦長(zhǎng)的最小值為2．
點(diǎn)評(píng)：本題考查向量知識(shí)的運(yùn)用，考查軌跡方程的求解，考查弦長(zhǎng)公式，考查直線(xiàn)與拋物線(xiàn)的位置關(guān)系，屬于中檔題．