Question

函數(shù)f（x）=[x]的函數(shù)值表示不超過(guò)x的最大整數(shù)，如[1.6]=1，[2]=2，已知0≤x＜4．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的表達(dá)式；
（Ⅱ）記函數(shù)g（x）=x-f（x），在給出的坐標(biāo)系中作出函數(shù)g（x）的圖象；
（Ⅲ）若方程g（x）-log_a（x-）=0（a＞0且a≠1）有且僅有一個(gè)實(shí)根，求a的取值范圍．

Answer 1

解：（Ⅰ）由題意，
①當(dāng)0≤x＜1時(shí)，f（x）=[x]=0；②當(dāng)1≤x＜2時(shí)，f（x）=[x]=1；
③當(dāng)2≤x＜3時(shí)，f（x）=[x]=2；④當(dāng)3≤x＜4時(shí)，f（x）=[x]=3；
所以f（x）=．
（Ⅱ） g（x）=x-f（x）=，圖象如圖所示：

（Ⅲ）方程g（x）-=0僅有一根等價(jià)于g（x）與h（x）= 圖象僅有一個(gè)交點(diǎn)，
由圖象可知0＜a＜1 時(shí)，h（1）=，解得；
a＞1時(shí)，h（2）=或，解得1＜a≤或．
綜上，a的范圍是[，1）∪（1，]∪（，]．
分析：（Ⅰ）按照f(shuō)（x）的定義，分段討論即可求出；
（Ⅱ）先把g（x）=x-f（x）表示出來(lái)，由g（x）的表達(dá)式可作出其圖象；
（Ⅲ）數(shù)形結(jié)合：方程g（x）-log_a（x-）=0（a＞0且a≠1）有且僅有一個(gè)實(shí)根，等價(jià)于g（x）與h（x）= 圖象僅有一個(gè)交點(diǎn)，結(jié)合圖象可得到a的限制條件，由此可求其范圍．
點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)作圖、函數(shù)解析式的求解及函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題，本題滲透了數(shù)形結(jié)合思想、分類(lèi)討論思想．