Question

（2012•虹口區(qū)二模）在長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=BC=6，用過A₁，B，C₁三點(diǎn)的平面截去長方體的一個(gè)角后，留下幾何體ABCD-A₁C₁D₁的體積為120．
（1）求棱AA₁的長；
（2）若O為A₁C₁的中點(diǎn)，求異面直線BO與A₁D₁所成角的大小．

Answer 1

分析：（1）利用長方體的體積減去三棱錐的體積，可得留下幾何體ABCD-A₁C₁D₁的體積，從而可求棱AA₁的長；
（2））根據(jù)BC∥A₁D₁，可得∠OBC是所求異面直線所成的角，在△OBC中，利用余弦定理可求．

解答：解：（1）設(shè)AA₁=h，
∵AB=BC=6，用過A₁，B，C₁三點(diǎn)的平面截去長方體的一個(gè)角后，留下幾何體ABCD-A₁C₁D₁的體積為120．
∴V=62•h-

1

3

•

1

2

•62•h=120
∴AA₁=h=4…（6分）
（2）∵BC∥A₁D₁，∴∠OBC是所求異面直線所成的角…（8分）
在△OBC中，OB=OC=

42+(3 2 )2

=

34

，BC=6，
∴cos∠OBC=

36+34-34

2×6× 34

=

3 34

34

∴∠OBC=arccos

3 34

34

…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查幾何體體積的計(jì)算，考查線線角，解題的關(guān)鍵是正確計(jì)算幾何體的體積，正確運(yùn)用余弦定理求解三角形中的角．