Question

9．如圖，在四棱錐E-ABCD中，平面EAD⊥平面ABCD，DC∥AB，BC⊥CD，且AB=4，BC=CD=ED=EA=2．
（1）求二面角E-AB-D的正切值；
（2）在線段CE上是否存在一點(diǎn)F，使得平面EDC⊥平面BDF？若存在，求$\frac{EF}{EC}$的值，若不存在請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析 （1）取AD的中點(diǎn)H，則EH⊥AD，EH⊥平面ABCD，過H作HN⊥AB于N，由EN⊥AB，得∠ENH為二面角E-AB-D的平面角，由此能求出二面角E-AB-D的正切值．
（2）取AB的中點(diǎn)M，推導(dǎo)出DB⊥AD，BD⊥ED，由此能求出$\frac{EF}{EC}$的值．

解答 解：（1）取AD的中點(diǎn)H，則EH⊥AD，
又平面EAD⊥平面ABCD，
∴EH⊥平面ABCD，
過H作HN⊥AB于N，由EN⊥AB，
∴∠ENH為二面角E-AB-D的平面角，
又∵BC⊥AB，AB∥CD，AB=2CD=4，
∴AD=2$\sqrt{2}$，AH=$\sqrt{2}$，AE=2，∴EH=$\sqrt{2}$，
又HN=1，∴tan$∠ENH=\sqrt{2}$，
∴二面角E-AB-D的正切值為$\sqrt{2}$．
（2）存在點(diǎn)F滿足條件．
取AB的中點(diǎn)M，由DM=$\frac{1}{2}$AB，故DB⊥AD，
又平面EAD⊥平面ABCD，
∴BD⊥平面EAD，∴BD⊥ED，
要使平面EDC⊥平面BDF，
在等腰△DEC，DE=DC=2，EC=$\sqrt{E{H}^{2}+H{V}^{2}+V{C}^{2}}$=2$\sqrt{3}$，
∴∠DEC=30°，∴EF=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$．
∴$\frac{EF}{EC}$=$\frac{2}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查二面角的正切值的求法，考查兩線段的比值的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．