Question

某項(xiàng)考試按科目A、科目B依次進(jìn)行，只有當(dāng)科目A成績合格時，才可繼續(xù)參加科目B的考試．已知每個科目只允許有一次補(bǔ)考機(jī)會，兩個科目成績均合格方可獲得證書．現(xiàn)某人參加這項(xiàng)考試，科目A每次考試成績合格的概率均為

2

3

，科目B每次考試成績合格的概率均為

1

2

．假設(shè)各次考試成績合格與否均互不影響．
（Ⅰ）求他不需要補(bǔ)考就可獲得證書的概率；
（Ⅱ）在這項(xiàng)考試過程中，假設(shè)他不放棄所有的考試機(jī)會，記他參加考試的次數(shù)為ξ，求ξ的數(shù)學(xué)期望Eξ．

Answer 1

分析：（1）不需要補(bǔ)考就獲得證書的事件表示科目A第一次考試合格且科目B第一次考試合格，這兩次考試合格是相互獨(dú)立的，根據(jù)相互獨(dú)立事件同時發(fā)生的概率，得到結(jié)果．
（2）參加考試的次數(shù)為ξ，由已知得，ξ=2，3，4，注意到各事件之間的獨(dú)立性與互斥性，根據(jù)相互獨(dú)立事件同時發(fā)生的概率寫出概率，求出期望．

解答：解：設(shè)“科目A第一次考試合格”為事件A₁，“科目A補(bǔ)考合格”為事件A₂；
“科目B第一次考試合格”為事件B₁，“科目B補(bǔ)考合格”為事件B₂．
（Ⅰ）不需要補(bǔ)考就獲得證書的事件為A₁•B₁，注意到A₁與B₁相互獨(dú)立，
根據(jù)相互獨(dú)立事件同時發(fā)生的概率
可得P(A1•B1)=P(A1)×P(B1)=

2

3

×

1

2

=

1

3

．
即該考生不需要補(bǔ)考就獲得證書的概率為

1

3

．
（Ⅱ）由已知得，ξ=2，3，4，注意到各事件之間的獨(dú)立性與互斥性，
根據(jù)相互獨(dú)立事件同時發(fā)生的概率
可得P(ξ=2)=P(A1•B1)+P(

.

A1

•

.

A2

)
=

2

3

×

1

2

+

1

3

×

1

3

=

1

3

+

1

9

=

4

9

．
P(ξ=3)=P(A1•

.

B1

•B2)+P(A1•

.

B1

•

.

B2

)+P(

.

A1

•A2•B2)
=

2

3

×

1

2

×

1

2

+

2

3

×

1

2

×

1

2

+

1

3

×

2

3

×

1

2

=

1

6

+

1

6

+

1

9

=

4

9

，
P(ξ=4)=P(

.

A1

•A2•

.

B2

•B2)+P(

.

A1

•A2•

.

B1

•

.

B2

)
=

1

3

×

2

3

×

1

2

×

1

2

+

1

3

×

2

3

×

1

2

×

1

2

=

1

18

+

1

18

=

1

9

，
∴Eξ=2×

4

9

+3×

4

9

+4×

1

9

=

8

3

．
即該考生參加考試次數(shù)的數(shù)學(xué)期望為

8

3

．

點(diǎn)評：本小題主要考查概率的基本知識與分類思想，考查運(yùn)用數(shù)學(xué)知識分析問題，解決問題的能力對于概率大家都知道要避免會而不全的問題，上述問題就是考慮不周全所造成的，所以建議讓學(xué)生一定注重題干中的每一句話，每一個字的意思．只有這樣才能做到滿分．