Question

（2013•唐山一模）已知函數(shù)f(x)=

mx+n

ex

在x=1處取得極值e^-1．
（I ）求函數(shù)f（x）的解析式，并求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（II）當(dāng)x＞0 時，試證：f（1+x）＞f（1-x）．

Answer 1

分析：（I）由題意知，在x=1處的導(dǎo)數(shù)為零，在x=1處的函數(shù)值為e^-1．列出方程即可求出m，n，從而得出函數(shù)f（x）的解析式，再求導(dǎo)函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)大于零單調(diào)增，導(dǎo)數(shù)小于零單調(diào)減得出結(jié)果．
（Ⅱ）利用作差法進行證明．設(shè)g（x）=f（1+x）-f（1-x）=

1+x

e1+x

-

1-x

e1-x

=

(1+x)e-x-(1-x)ex

e

．構(gòu)造函數(shù)h（x）=（1+x）e^-x-（1-x）e^x=

1+x

ex

-（1-x）e^x，利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性，從而得出g（x）＞0，從而f（1+x）＞f（1-x）．

解答：解：（Ⅰ）f′（x）=-

mx+n-m

ex

．
依題意，f（1）=e^-1，f′（1）=0，即

(m+n)e-1=e-1 -ne-1=0

解得m=1，n=0．…（4分）
所以f（x）=

x

ex

．
f′（x）=-

x-1

ex

．
當(dāng)x∈（-∞，1）時，f′（x）＞0；當(dāng)x∈（1，+∞）時，f′（x）＜0．…（6分）
函數(shù)f（x）在（-∞，1）單調(diào)遞增；在（1，+∞）單調(diào)遞減．
（Ⅱ）設(shè)g（x）=f（1+x）-f（1-x）=

1+x

e1+x

-

1-x

e1-x

=

(1+x)e-x-(1-x)ex

e

．…（8分）
設(shè)h（x）=（1+x）e^-x-（1-x）e^x=

1+x

ex

-（1-x）e^x，
則h′（x）=

x(e2x-1)

ex

＞0，h（x）在（0，+∞）單調(diào)遞增，h（x）＞h（0）=0，…（10分）
所以g（x）＞0，從而f（1+x）＞f（1-x）．…（12分）

點評：考查了函數(shù)的求導(dǎo)及極值的概念，考查了利用導(dǎo)函數(shù)函數(shù)求其單調(diào)區(qū)間，還考查了利用方程求解的思想，屬于中檔題．