Question

已知x∈R，向量

OA

=(acos2x， 1)， 

OB

=(2， 

3

asin2x-a)，f(x)=

OA

•

OB

，a≠0．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）解析式，并求當(dāng)a＞0時(shí)，f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（Ⅱ）當(dāng)x∈[0，

π

2

]時(shí)，f（x）的最大值為5，求a的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據(jù)平面向量的數(shù)量積的運(yùn)算法則求出f（x），然后利用兩角和的正弦函數(shù)公式的逆運(yùn)算把f（x）化為一個(gè)角的正弦函數(shù)，根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)區(qū)間（2kπ-

π

2

，2kπ+

π

2

），求出x的范圍即為函數(shù)的增區(qū)間；
（Ⅱ）根據(jù)x的范圍求出2x+

π

6

的范圍，討論a的正負(fù)利用2x+

π

6

的范圍及正弦函數(shù)的圖象可得f（x）的最大值，讓最大值等于5列出關(guān)于a的方程，求出a的值即可．

解答：解：（Ⅰ）f(x)=2acos2x+

3

asin2x-a（2分）
=

3

asin2x+acos2x（4分）
=2asin(2x+

π

6

)．（6分）
當(dāng)2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

(k∈Z)時(shí)，
即kπ-

π

3

≤x≤kπ+

π

6

(k∈Z)時(shí)．
f（x）為增函數(shù)，即f（x）的增區(qū)間為[kπ-

π

3

，kπ+

π

6

](k∈Z)（9分）
（Ⅱ）f(x)=2asin(2x+

π

6

)，當(dāng)x∈[0，

π

2

]時(shí)，2x+

π

6

∈[

π

6

，

7π

6

]．
若a＞0，當(dāng)2x+

π

6

=

π

2

時(shí)，f（x）最大值為2a=5，則a=

5

2

．（11分）
若a＜0，當(dāng)2x+

π

6

=

7π

6

時(shí)，f（x）的最大值為-a=5，則a=-5．（13分）

點(diǎn)評(píng)：考查學(xué)生會(huì)根據(jù)三角函數(shù)值域借助圖象求函數(shù)的最值，會(huì)進(jìn)行平面向量的數(shù)量積的運(yùn)算，掌握正弦函數(shù)的單調(diào)性．