Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n=2n²+2n，數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和Tn=2-b_n
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}與{b_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）設(shè)c_n=a_n²•b_n，證明：當(dāng)且僅當(dāng)n≥3時(shí)，c_n+1＜c_n．

Answer 1

分析：（1）由題意知a₁=S₁=4，a_n=S_n-S_n-1化簡可得，a_n=4n，n∈N^*，再由b_n=T_n-T_n-1=（2-b_n）-（2-b_n-1），可得2b_n=b_n-1知數(shù)列b_n是等比數(shù)列，其首項(xiàng)為1，公比為

1

2

的等比數(shù)列，由此可知數(shù)列{a_n}與{b_n}的通項(xiàng)公式．
（2）由題意知C1=a12bn=16n2(

1

2

)n-1，

cn+1

cn

=

16(n+1)2•( 1 2 )(n+1)-1

16n2•( 1 2 )n-1

=

(n+1)2

2n2

．由

cn+1

cn

＜1得

(n+1)2

2n

＜1，解得n≥3．由此能夠?qū)С霎?dāng)且僅當(dāng)n≥3時(shí)c_n+1＜c_n．

解答：解：（1）由于a₁=S₁=4
當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=（2n²+2n）-[2（n-1）²+2（n-1）]=4n，∴a_n=4n，n∈N^*，
又當(dāng)x≥n時(shí)，Tn=2-b_n，∴b_n=2-T_n，
b_n=T_n-T_n-1=（2-b_n）-（2-b_n-1），∴2b_n=b_n-1
∴數(shù)列b_n是等比數(shù)列，其首項(xiàng)為1，公比為

1

2

，∴bn=(

1

2

)n-1．
（2）由（1）知C1=a12bn=16n2(

1

2

)n-1，

cn+1

cn

=

16(n+1)2•( 1 2 )(n+1)-1

16n2•( 1 2 )n-1

=

(n+1)2

2n2

．
由

cn+1

cn

＜1得

(n+1)2

2n

＜1，解得n≥3．
又n≥3時(shí)，

(n+1)2

2n

＜1成立，即

cn+1

cn

＜1，由于c_n＞0恒成立．
因此，當(dāng)且僅當(dāng)n≥3時(shí)c_n+1＜c_n．

點(diǎn)評：由an= 

a1，n=1 Sn-Sn-1

可求出b_n和a_n，這是數(shù)列中求通項(xiàng)的常用方法之一，在求出b_n和a_n后，進(jìn)而得到c_n，接下來用作差法來比較大小，這也是一常用方法．