Question

已知數列{a_n}的前n項和S_n=2n²+2n，數列{b_n}的前n項和Tn=2-b_n
（Ⅰ）求數列{a_n}與{b_n}的通項公式；
（Ⅱ）設c_n=a_n²•b_n，證明：當且僅當n≥3時，c_n+1＜c_n．

Answer 1

分析：（1）由題意知a₁=S₁=4，a_n=S_n-S_n-1化簡可得，a_n=4n，n∈N^*，再由b_n=T_n-T_n-1=（2-b_n）-（2-b_n-1），可得2b_n=b_n-1知數列b_n是等比數列，其首項為1，公比為

1

2

的等比數列，由此可知數列{a_n}與{b_n}的通項公式．
（2）由題意知C1=a12bn=16n2(

1

2

)n-1，

cn+1

cn

=

16(n+1)2•( 1 2 )(n+1)-1

16n2•( 1 2 )n-1

=

(n+1)2

2n2

．由

cn+1

cn

＜1得

(n+1)2

2n

＜1，解得n≥3．由此能夠導出當且僅當n≥3時c_n+1＜c_n．

解答：解：（1）由于a₁=S₁=4
當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=（2n²+2n）-[2（n-1）²+2（n-1）]=4n，∴a_n=4n，n∈N^*，
又當x≥n時，Tn=2-b_n，∴b_n=2-T_n，
b_n=T_n-T_n-1=（2-b_n）-（2-b_n-1），∴2b_n=b_n-1
∴數列b_n是等比數列，其首項為1，公比為

1

2

，∴bn=(

1

2

)n-1．
（2）由（1）知C1=a12bn=16n2(

1

2

)n-1，

cn+1

cn

=

16(n+1)2•( 1 2 )(n+1)-1

16n2•( 1 2 )n-1

=

(n+1)2

2n2

．
由

cn+1

cn

＜1得

(n+1)2

2n

＜1，解得n≥3．
又n≥3時，

(n+1)2

2n

＜1成立，即

cn+1

cn

＜1，由于c_n＞0恒成立．
因此，當且僅當n≥3時c_n+1＜c_n．

點評：由an= 

a1，n=1 Sn-Sn-1

可求出b_n和a_n，這是數列中求通項的常用方法之一，在求出b_n和a_n后，進而得到c_n，接下來用作差法來比較大小，這也是一常用方法．