Question

已知f（x）=ax²+bx+3a+b是偶函數(shù)，且其定義域?yàn)閇a-1，2a]，則y=f（x）的值域?yàn)?div id="zlzufth" class='quizPutTag' contenteditable='true'> 

．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)奇偶性的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：據(jù)二次函數(shù)是偶函數(shù)時(shí)：不含奇次項(xiàng)，偶函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，列出方程求出a、b，求出f（x）的解析式和定義域，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出二函數(shù)的值域．

解答： 解：∵f（x）=ax²+bx+3a+b為偶函數(shù)，
∴b=0，且a-1+2a=0
解得b=0，a=

1

3

，
∴f（x）=

1

3

x²+1，定義域?yàn)閇-

2

3

，

2

3

]
由二次函數(shù)的性質(zhì)知，當(dāng)x=0時(shí)，有最小值1，
當(dāng)x=-

2

3

或

2

3

時(shí)，有最大值f（

2

3

）=

1

3

×(

2

3

)2+1=

31

27

，
∴f（x）的值域?yàn)閇1，

31

27

]
故答案為：[1，

31

27

]．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)是偶函數(shù)的性質(zhì)，及二次函數(shù)的單調(diào)性應(yīng)用，關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)是偶函數(shù)的充要條件，以及定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱是函數(shù)具有奇偶性的必要條件．