Question

已知定義在集合（0，+∞）的函數(shù)y=f（x）滿足條件：對于任意的x，y∈（0，+∞），f（x•y）=f（x）+f（y），且當x＞1時，f（x）＞0
（1） 試舉出滿足條件的一個函數(shù)
（2） 證明f（1）=0；
（3） 討論函數(shù)y=f（x）在（0，+∞）上的單調性．

Answer 1

分析：（1）對于任意的x，y∈（0，+∞），f（x•y）=f（x）+f（y），且當x＞1時，f（x）＞0想到底數(shù)大于1的對數(shù)函數(shù)滿足此運算性質，故可以舉一個底數(shù)大于1的對數(shù)函數(shù)；
（2）分別對x=y=1賦值，即可證f（1）=0；
（3）根據(jù)函數(shù)單調性的定義討論函數(shù)的單調性．

解答：解．（1）y=log₂^x．
（2）證明：因為對于任意x，y∈（0，+∞），有f（x•y）=f（x）+f（y）
所以可令x=y=1，則有f（1）=f（1）+f（1），即f（1）=0．

（3）設任意實數(shù)x₁，x₂∈（0，+∞），且x₂＜x₁，
則f(x1)-f(x2)=f(

x1

x2

•x2)-f(x2)=f(

x1

x2

)+f(x2)-f(x2)=f(

x1

x2

)．
因為x₁，x₂∈（0，+∞），x₂＜x₁
所以

x1

x2

＞1，又當x＞1時有f（x）＞0
所以f(

x1

x2

)＞0即f（x₁）-f（x₂）＞0
所以f（x₁）＞f（x₂）函數(shù)在（0，+∞）是單調增函數(shù)．

點評：考查利用函數(shù)單調性的定義探討抽象函數(shù)的單調性問題，對于解決抽象函數(shù)的一般采用賦值法，求某些點的函數(shù)值和證明不等式等，屬中檔題．