Question

設函數(shù)f（x）=|x²-2x|．
（1）在區(qū)間[-2，6]上畫出函數(shù)f（x）的圖象；
（2）根據(jù)圖象寫出該函數(shù)在[-2，6]上的單調區(qū)間；
（3）方程f（x）=a在區(qū)間[-2，6]有兩個不同的實數(shù)根，求a的取值范圍．

Answer 1

解：
（1）根據(jù)題意，得f（x）=|x²-2x|=．
∴當x≤0或x≥2時，圖象為拋物線開口向上的部分；當0＜x＜2時，圖象為拋物線開口向下的部分，
可得函數(shù)圖象如圖所示 …（5分）
（2）由（1）得，函數(shù)的單調減區(qū)間為（-2，0）和（1，2）；
單調增區(qū)間為（0，1）和（2，6）．…（9分）
（3）∵方程f（x）=a在區(qū)間[-2，6]有兩個不同的實數(shù)根，
f（0）=f（2）=0，f（1）=1且f（-2）=f（4）=8
∴a=0或1＜a≤8 …（14分）
分析：（1）根據(jù)二次函數(shù)圖象，結合y=|f（x）|的圖象的變換規(guī)律，得到牛族動物f（x）=|x²-2x|的函數(shù)圖象如圖所示；
（2）根據(jù)（1）作出的函數(shù)圖象，結合二次函數(shù)的單調性，可得函數(shù)的單調減區(qū)間為（-2，0）和（1，2）；單調增區(qū)間為（0，1）和（2，6）．
（3）由y=|f（x）|的圖象，知當a=0時，方程f（x）=a有兩個實數(shù)根，而f（1）=1、f（-2）=f（4）=8，所以1＜a≤8 時方程方程f（x）=a有兩個實數(shù)根，故當a=0或1＜a≤8時，方程f（x）=a在區(qū)間[-2，6]有兩個不同的實數(shù)根．
點評：本題給出含有絕對值的二次函數(shù)，求作函數(shù)的圖象并且求函數(shù)的單調區(qū)間，著重考查了二次函數(shù)的單調性和帶絕對值的函數(shù)圖象等知識點，屬于中檔題．