Question

已知拋物線y²=4x，過點（0，-2）的直線交拋物線于A、B兩點，O為坐標原點．
（1）若

OA

•

OB

=4，求直線AB的方程．
（2）若線段AB的垂直平分線交x軸于點（n，0），求n的取值范圍．

Answer 1

（1）設直線AB的方程為y=kx-2，k≠0，
代入y²=4x中得k²x²-（4k+4）x+4=0，①
設Ax₁，y₁），B（x₂，y₂），B（x₂，y₂），則x1+x2=

4k+4

k2

，x1x2=

4

k2

，
∴y₁y₂=（kx₁-2）（kx₂-2）
=k²x₁x₂-2k（x₁+x₂）+4
=-

8

k

．
∵

OA

•

OB

=（x1 ，y₁）•（x₂，y₂）=x₁x₂+y₁y₂
=

4

k2

-

8

k

=4，
∴k²+2k-1=0，
解得k=-1+

2

．
又由方程①的判別式△=（4k+4）²-16k²=32k+16＞0，
得k＞-

1

2

．
∴k=-1+

2

，
∴直線AB的方程為(

2

-1)x-y-2=0．
（2）設線段AB的中點坐標為（x₀，y₀），
則由（1）知x0=

x1+x2

2

=

2k+2

k2

，
y0=kx0-2=

2

k

，
∴線段AB的垂直平分線的方程為y-

2

k

=-

1

k

（x-

2k+2

k2

）．
∵線段AB的垂直平分線交x軸于點（n，0），
∴令y=0，得n=2+

2k+2

k2

=

2

k2

+

2

k

+2=2（

1

k

+

1

2

）²+

3

2

，
又∵k＞-

1

2

，且k≠0，∴

1

k

＜-2，或

1

k

＞0，
∴n＞2（0+

1

2

）²+

3

2

=2．
∴n的取值范圍是（2，+∞）．